必修3.2 函数的基本性质-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

·(等习心得) -3-2-10123 图3 1,x∈Q, (3)狄利克雷函数D(x)= 0,xQ. 这个函数的定义域是R,值域是{0,1冫，不能作出图象. 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 1 单调性的定义 (A版】 前提条件 设函数f(x)的定义域为I,区间D二I Vx1,x2∈D,x1<x2 条件 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) y=f(x) y=flx) 图示 x x .f九x) fix) 1 2 X2 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单 当函数f(x)在它的定义域上单 特殊情况 调递增时，我们就称它是增函数 调递减时，我们就称它是减函数 (B版】一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,且I二D: (1)如果对于任意x1,x2∈I,当x<x2时，都有f(.x1)<f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数 (也称在【上单调递增)，如图1： fx2) fx) f 图1 图2 (2)如果对于任意x1,x2∈I,当x<x2时，都有f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数 (也称在1上单调递减)，如图2. 27《函装的概念与性质第20 ●（等习心得）● 2单调区间 (A版)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (B版】如果函数y=f(x)在I上是增函数或减函数，都称函数在I上具有单调性（当I为区间 时，称【为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). B版)3 增函数的等价表达形式 对任意x1,x2∈I,且x≠x2,△x=x2一x1,△y=f(.x2)-f(x),y=f(x)在I上是增函数 台x1<x2,f(x1)<f(x2) 台x1>x2,f(x1)>f(x2) 台(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0 台fx）-f)>0 x2一x1 台△x>0,△y>0 台△x<0,△y<0 ←台△.x·△y>0 台A>0 △x 台f(x)的平均变化率大于0 台f(x)的图象上任意两点连线的斜率大于0 台f(x)的图象上任意一点处的切线斜率大于0（要求在任意一点处的切线不平行于x轴） 台f(x)>0(要求f(x)在任意一点处的切线不平行于x轴) (B版) 4 减函数的等价表达形式 对任意x1,x2∈I,且x1≠x2,△x=x2-x1,△y=f(x2)-f(x1),y=f(x)在I上是减函数 台x1<x2,f(x1)>f(x2) 台x1>x2,f(x1)<f(x2) 台(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0 台fx)-f)<0 x2-x1 台△x>0,△y<0 台△.x<0,△y>0 台△x·△y<0 台Ay<0 '△.x 台f(x)的平均变化率小于0 台f(x)的图象上任意两点连线的斜率小于0 台f(x)的图象上任意一点处的切线斜率小于0（要求在任意一点处的切线不平行于x轴） 高甲悬④公式大全>28 ⇔f’(x)<0(要求f(x)在任意一点处的切线不平行于x轴）习心得） (B版）5函数v 因变量的改变量与对应自变量的改变量的比 Δf=f(x_x)-f(x) 称为函数y=f(x)在区间[x_1x_1](x_1<x_2时)或[x2x_1](x_1>x_2时)上的平均变化率。 （1)位移关于时间的平均变化率是平均速度； （2)速度关于时间的平均变化率是平均加速度； （3)平均变化率就是两点A(x_1﹐f(x_1))，B(x_2，f(x_2))连线的斜率； （4)当x_1与x_2无限接近的时候，两点连线(割线)就无限接近于切线． (A版） (B版)一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x_o∈D： 1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x)，则称f(x)的最大值为f(x_，)，而x_。称为f(x)的最大 值点； （2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x)，则称f(x)的最小值为f(x)，而x。称为f(x)的最小 值点． 说)明 函数的最值指的是图象最高点或最低点的纵坐标，最值点指的是最高点或最低点的横坐标． 7单 （1)图象法： 从左往右，图象上升即为增函数；从左往右，图象下降即为减函数。 （2)定义法： ①取值：设x_1x_2是给定区间内的两个任意值，且x_1<x_2(或x_1>x_2)。 ②作差：作差f(x_1)-f(x_2) ③变形：常用的变形技巧有：遇多项式相减用因式分解法；遇二次函数相减用配方法：遇分式相减 29（函数的概念与性质mC ·(等习心得)·先通分，然后对分子进行因式分解；遇根式相减用分母有理化。 ④判号：通过判断每一个因式的符号，进而判断f(x)一f(x2)的正负. ⑤结论：根据定