必修3.1 函数的概念及其表示-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

习心得） 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 (A版)一般地。设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对 应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相 对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 (B版)一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数 x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y= f(x)。x∈A.其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义 域，所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。 说明 (1)函数的本质是对应关系，是一个数集A到另一个数集B之间的对应关系，由须是一对一 或多对一的对应关系，当遇到这种对应时就可以考虑是函数问题。 （2)对应的不同形式 文字表达对应：在集合A中对任意m，在集合B中都有唯一的实数a与它对应，则a是m 的函数； 解析式表达对应：y=f(x)，x∈A； 图象表达对应：作直线x=a，与图象有一个交点，过这个交点再作y轴的垂线，垂足对应的 数为b，则a对应b； 表格表达对应：把自变量和因变量对应的值用表格表示出来． （3)函数对应本质的考查方式 ①已知自变量x=a，求对应的函数值f(a)； ②已知因变量y=a，求对应的自变量的值，就是解方程f(x)=a； ③已知自变量x的范围，求因变量y的范围，就是求图象的纵投影； ④已知因变量y的范围，求自变量x的范围，就是求图象的横投影； ⑤求函数的解析式； ⑥求方程f(x)=a的根的个数，就是函数y=f(x)与y=a的交点的个数。 这样的题，都是考查函数的对应的本质，因此我们不可盲目地刷题，而是要通过各种变形的 题目体会函数是如何实现对应的． e公式大全》22 。等习心得● 2函数的三个要素 定义域、值域和对应关系. 说明 对应关系在有的教材上称为对应法则，两者是一样的 3判断两个函数是否相同的依据 定义域和对应关系是否都相同，都相同时就是同一函数. 说明 两个函数是否相同与自变量和因变量用什么字母表示无关， 4定义域 是函数定义中的集合A; 是使函数解析式有意义的自变量的取值范围； 是函数图象在x轴上的横投影 5求函数的定义域时遵循的原则 (1)f(x)是整式时，定义域是全体实数. (2)f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. (3)f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 (4)对数函数的真数大于零，即对于f(x)=logx,x>0,当对数函数或指数函数的底数中含变量 时，底数须大于零且不等于1. (5)y=tanx中，x≠kx+乏(k∈Z). (6)零（负）指数幂的底数不能为零. (7)若∫(x)是由有限个基本初等函数经四则运算合成的函数时，其定义域一般是各基本初等函 数的定义域的交集。 (8)对于求复合函数的定义域问题：若已知f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f(g(x)的定 义域，由不等式a≤g(.x)≤b解出的.x的范围就是定义域；若已知f(g(.x)的定义域，求f(.x)的定义 域，则只需求g(x)的范围，就是所求定义域. (9)对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 (10)由实际问题确定的函数，其定义域除了要使函数解析式有意义外，还要符合问题的实际意义， 6函数的值域 不是函数定义中的集合B,而是所有f(x),x∈A形成的集合，即{y∈By=f(x),x∈A}; 是函数解析式中因变量y的取值范围； 是函数图象在y轴上的纵投影. 23《函数的概念与性质 第0 ●（等习心得）● 7求函数值域与最值的常用方法 (1)观察法： 对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值， 如：一次函数y=2x十3的值域是R:反比例函数y=2的值域是{yy≠0)：函数y=√的值域是 {yy≥0}. (2)配方法： 将函数解析式化成含有自变量的完全平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值或最值.如：求函数y=√一x一6.x十5的值域，可以先把被开方数配方，求出范围，再开方求出原函 数的值域。 (3)判别式法： 求形如y=ar士r士9（定义域最好为R)的值域，去分母化成关于x的二次方程，用△≥0求 a2x2+b2x十c2 y的范围 (4)不等式法： 利用基本不等式确定函数的值域或最值（一正二定三相等）. (5)换元法： 通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的. 如：对于形如y=f