必修2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

●（学习位得）。 例 已知x∈(2，十0)，求y=t二4的最小值，以及y取得最小值时x的值. x-2 圆透洞要把分式进行分高，就妻把分子用工一2未表达。 故y=-x十4-(z-2+2)2-(x-2)-2+4 x-2 x-2 =(x-2)2+4(x-2)+4-(x-2)+2 x-2 -(x-2)2+3(x-2)+6 x-2 =z-2)+3x-22+6 x2 x-2x-2 =(-2+928 这样就化成了工十口的形式，下面再利用均值不等式求最值即可. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 元二次不等式 (A版)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是：a.x2+bx十c>0或a.x2十bx十c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0. (B版】一般地，形如a.x2+bx十c>0(a≠0)的不等式称为一元二次不等式，其中a,b,c是常数. 说明 (1)只要提到是一元二次不等式，一定有≠0，如果没有说是二次不等式，就要对x2的系数 a,分a=0与a≠0两种情况进行讨论： (2)a,b,c是常数； (3)不等号也可以是<，≥，≤. 2二次函数的零点 对于二次函数y=a.x2十bx十c,我们把使ax2+bx十c=0的实数x叫做二次函数y=a.x2十bx十c 的零点。 3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 0 0x1=x230 O a.x2+bx+c=0(a>0) 有两个不相等的实数 有两个相等的实数根 根x1,x2(x1<x2) 6 没有实数根 的根 x1=x2= 2a a.x2+bx+c>0(a>0) {xx<x1,或x>x2} 的解集 {≠ R a.x2+b.x+c<0(a>0) 的解集 {xx1<x<x2} 0 0 高甲悬④公式大全>~18 (等习位得)· 6 函数零点存在定理 函数零点存在定理：如果函数y=f(x)满足： (1)f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线； (2)f(a)f(b)<0. 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根. 如果再添加一个条件“f(x)在[a,b]上单调”，那么结论就变成了“函数y=f(x)在区间(a,b)内 有唯一一个零点”，这是证明函数零点唯一性的重要依据。 7 确定函数y=f(x)的零点（或方程f(x)=0的实数根）个数的方法 (1)代数法：函数y=f(.x)的零点个数台方程f(x)=0的实数根的个数； (2)几何法：函数y=f(x)的零点个数就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数。 8 函数零点的求法 (1)解方程：(2)二分法， 9 一元二次方程根的分布 -元二次方程a.x2十b.x十c=0(a>0)根的分布如下表. 一正根 一根 一正根一负根， 两个正根 两个负根 负根 为零 且负根的绝对值大 △≥0， △≥0， △>0， b △>0， x1十x2= a >0,Jx1十x2= b∠0 x1十x2= b∠0 x1=￡<0 c=0 x2=>0 a =>0 1x=<0 a 一个根小于k, 两个根都小于k 两个根都大于k 一个根大于k △≥0， △≥0， f(k)<0 f(k)>0 f(k)>0 高甲黑④公式大全>46 (等习位得)· 若x1<x2,则原不等式的解集为{xx<x1,或x>x2}. 说明 讨论的次序是先讨论二次项系数的正负，然后讨论判别式的符号情况，最后讨论根的大小 (4)图象法 ①a.x2+b.x十c>0(a≠0)的解集就是函数y=a.x2十b.x十c在x轴上方的图象对应的x的范围，解 集的端点就是方程ax2+bx十c=0的根； ②ax2+bx十<0(a≠0)的解集就是函数y=a.x2+bx十c在x轴下方的图象对应的x的范围，解 集的端点就是方程a.x2+b.x+c=0的根. 一元三次不等式恒成立问题 a=0, a>0, (1)不等式a.x2+b.x十c>0恒成立台b=0,或 △<0； c>0 a=0, a<0, (2)不等式a.x2十b.x十c<0恒成立 b=0,或 △<0： c<0 (3)f(x)<a恒成立台f(x)mx<a: (4)f(x)≤a恒成立台f(x)max≤a; (5)f(x)>a恒成立台f(x)im>a; (6)f(.x)≥a恒成立台f(x)min≥a. 说明 不等式恒成立问题，通常转化为求函数最值的问题， 6 二次函数f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)在闭区间[p,g]上的最值 设f()在区间[力，q]上的最大值为M,最小值为m,令xm=2p十q). (1)当a>0时（开口向上）， ①若一品<p,如图1，