必修2.2 基本不等式-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

●（等习心得）● 说明 两个坐标之间一定是“藏”，如果是“加”，要改成“减”.如x十1=x一（一1）表示的是x与 一1之间的距离， 7 绝对值的最值问题（补充） (1)利用绝对值的几何意义求最值 对于|x一a士|x一b类型代数式的最值问题，假设a<b,则有： 对于|x一a十|x-b,当a≤x≤b时，最小值为b-a,无最大值； 对于|x一a-|x-b,当x≤a时，最小值为a-b,当x≥b时，最大值为b-a. (2)利用零点分段法求最值 一般情况下，先利用零点分段法化简含绝对值的代数式，然后求各区段的最值，最后综合情况得 到最终的最值。 而形如x一a1十|x-a2|十|x一a3|十…十|x-an|(x的系数均为1)的代数式，其最小值的一 般规律： ①若n为奇数，将其零点的值按大小排列，当x等于中间零点时，代数式能取最小值 如：若x十1十x一2|十x一3取最小值时，相应的x的值为2，此时最小值为4. ②若n为偶数，将其零点的值按大小排列，当x取夹在中间两个零点间（包含中间两个零点）的值 时，代数式能取最小值. 如：设a<b<c<d,则|x-a+|x-b十|x-c十|x-d的最小值为d-a十c-b. 8中点坐标公式 如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,线段AB的中点M在数轴上对应的数为x,那么 x=9+b 说明 (1)在数轴上任意两个点的坐标和的一半就是中点的坐标 (2)变形：a十b=2x,则a=2x一b,b=2.x一a,即线段两个端点的坐标和等于中点坐标的2 倍，线段任意端点的坐标等于中点坐标的2倍减去另一个端点的坐标.熟记这些公式的变形，会 大大有助于我们快速解题. (3)这个公式可以推广到平面上线段中点的坐标公式，设A(x1,y),B(x2,y2)是平面直角 x=西十x2 2 坐标内任意两点，M(x,y)是线段AB的中点，则 =y1十y2 2 2.2基本不等式 1 基本不等式（均值不等式） V<其中，“士叫做正数a,b的算术平均数，V5叫做正数a,6的几何平均数. 高甲悬④公式大全>16 说明 （1)成立条件：a≥0，b>0(a，b均为正实数)，当且仅当a=b时，等号成立． （2)几个变形公式： a+b≥2\sqrt{ab}；ab≤(“+b)a+b≥2ab(a，b∈R)ab<α+^k(ab∈R。 (3)利用基本不等式求最值时，士须满足三个条件： 一正：a>0，b>0； 二定；求a+b的最小值时，ab是定值；求ab的最大值时，a+b是定值； 三相等：求得最值时，等号女须成立． （4)代数意义：a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数。 （5)几何意义：圆的半径不小于与半径垂直的半弦． (6)公式特征：两个数的“和”与“积”之间的放缩关系。故当遇到“和”与“积”之间的大小关系 时就考虑该公式． （1)(三个正数的算术一几何均值不等式)“=3十c≥\sqrt{abc}(a，bc均为正实数，当且仅当a=b=c 时取等号)。 （2)a^3+b^x+c^3≥3abc(a>0，b>0，>0，当且仅当a=b=c时取等号)。 (3)a^2+b^x+c^2≥ab+bc+ca(a，b，c∈R，当且仅当a=b=c时取等号)。 （4若ab>0.则。+“≥2(当且仅当a=b时取等号)． 若ab<0.则么+景≤-2(当且仅当a=b时取等号)。 (5)ab+m<1<_a+”<“(其中a>b>0，m>0.n>0)。 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小。 (6)当a>0时，x|>a⇔x’>a^2⇔x<-a或x>a；|x|<a⇔x<a^2⇔-a<x<a。 （7)绝对值三角不等式：||a|-|b||≤a±b|≤|a|+|b|． 平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。 对于形如y=cC++的函数在求其最值时，经常进行分离化成x+“的形式，然后利用均值ax- 不等式求最值。下面举例说明分离的过程： 17《二元一次函数、方程和不等式 ·(等习位得)● 例 已知x∈(2，十0)，求y=t二4的最小值，以及y取得最小值时x的值. x-2 圆透洞要把分式进行分高，就妻把分子用工一2未表达。 故y=-x十4-(z-2+2)2-(x-2)-2+4 x-2 x-2 =(x-2)2+4(x-2)+4-(x-2)+2 x-2 -(x-2)2+3(x-2)+6 x-2 =z-2)2+3x-22+6 x2 x-2x-2 =(-2+928 这样就化成了工十口的形式，下面再利用均值不等式求最值即可. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 元二次不等式 (A版)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是：a.x2+bx十c>0或a.x2十bx十c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0. (B版】一般地，形如a