必修2.1 等式性质与不等式性质-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

。等习心得● 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 1 等式的性质 (1)等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立.a=b→a士c=b士c. (2)等式的两边同时乘（或除以）同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.a=b→ac=bc,?= c (c≠0). (3)等式具有传递性：a=b,b=c→a=c. a=b, (4)推论：两个等式两边可以相加、相减、相乘、相除。 a±c=b士d,ac=hd,a= c=d d (c≠0). 说明 等式：会有等号的式子叫段等式，等式分矛盾等式和条件等式 不等式及其性质 (1)不等式 用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式 (2)两个实数比较大小的方法 ①作差法：a>b台→a-b>0;a=b台a-b=0:a<b台a-b<0. ②作商法：a>b曰4>1：a=b曰4 b =1：a<=分<1(6>0 (3)不等式的性质 ①对称性：a>b台b<a. ②传递性：a>b,b>c→a>c. ③可加性：a>b台a+c>b+. a>b, ④可乘除性： acbe,ab.a=b, c\c∠0 ac<bc,a<b (c>0 a>b, a>b, ⑤同向可加性： →a+c>b十d;(B版)异向可减性： →a-c>b-d; c>d c<d (B版)移项法则：a十b>c→a>c一b. a>b>0, ⑥同向正数可乘性： →ac>bd. >d>0 ⑦可乘方：a>b>0→a">b(n∈N,且n>1). (B版)⑧可开方：a>b>0→a>6(n∈N,且n>1). Ⅱ《一元二次函装、方程和不等式第通 ●（学习心得）● B厦1@倒数法则：>6>0一<石：a<60}>2 a b 注意：a,b必须同号，若异号，取倒数后不等号方向不变. (B版)(4)证明不等式常用的方法 ①综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法. ②分析法 从要证的结论出发，寻求要证结论成立的充分条件，直到显然成立为止，这样的证明方法称为分 析法. ③反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结 论的方法称为反证法。 5说明 (1)证明一个结论时，通常用分析法我到解题的思路，然后用综合法进行书写； (2)分析法是不断寻求结论成立的充分条件的过程，因此经常写成“要证明，只需证明q”, 或用特号“←”表示； (3)当证明困难，或情况较多时，通常考虑反证法证明： (4)证明不等式的方法有很多，如放缩法、插项法、作差法、作商法、换元法等，平时要多做一 些积累和总结 3 重要不等式 Ha,b∈R,有a2+b≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立. (B版) 4 恒等式 般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式 两边恒等。 说明 (1)以往所学的公式大多为恒等式，或在某个范围内恒等.如： 平方差公式：(a十b)(a-b)=a2-b; 完全平方公式：(a士b)2=a2士2ab十b: 立方知公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b); 立方差公式：a3-b=(a-b)(a2+ab十b2). (2)因式分解也是恒等变形 (B版) 5方程的解集 般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 高甲悬④公式大全>~12 说明 。等习心得● (1)方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值. (2)当方程为一元方程时，它的解也称为根 (3)解关于x的方程a.x=b. ①当α=0时，若b=0,则任意实裁都是原方程的解；若b≠0，则原方程无解. ②当a≠0时，原方程的解为=b 综上所述，当a=0,b=0时，原方程的解集为R; 当a=0,b≠0时，原方程的解集为☑： 当a≠0时，原方程的解集为】 la. (B版】一 元二次方程的解集及其根与系数的关系 1 判别式 b-4ac称为一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的判别式.通常用△表示，即△-b-4ac. (1)△>0台原方程有两个不相等的实数根； (2)△=0台原方程有两个相等的实数根； (3)△<0台原方程没有实数根. 说明 (1)△≥0台原方程有实数根，可能是两个相等的实裁根，也可能是两个不相等的实数根； (2)判别式适用于一元二次方程，一元一次方程没有判别式： (3)△=0台ax2+b.x+c(a≠0)是一个究全平方式」 2 -元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的解集 (1)当△=b-4ac<0时，原方程的解集为0； (2)当△=b-4ac=0时，原方程的解集为 2a/; (3)当△=b一4ac>0时，原方程的解集为 -b+B2-4ac -b-√6-4ac) 2a 2a 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+b