专题04 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型 -《常考压轴题》2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题04 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型 考点一 四边形中构造全等三角形解题 考点二 一线三等角模型 考点三 三垂直模型 考点四 倍长中线模型 典型例题 考点一 四边形中构造全等三角形解题 【例题】（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A． 【变式训练】 1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF． (1)求证：CE＝CF； (2)若G在AB上且∠ECG＝60°，试猜想DE，EG，BG之间的数量关系，并证明． 考点二 一线三等角模型 【例题】（2021·湖北·黄石八中八年级阶段练习）如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之间的数量关系． 【变式训练】 1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 2．（2022·甘肃武威·八年级期末）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． 证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 3．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，中，．点、、分别是、、边上的点，． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长： （3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则；这个命题是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 4．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． （2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 考点三 三垂直模型 【例题】（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D． （1）求证：△BCE ≌△CAD； （2）若AD =12， BE =5，求ED的长． 【变式训练】 1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E． (1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝　 　； (2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明； (3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足． （1）当直线l不与底边AB相交时， ①求证：∠EAC＝∠BCF． ②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明． （2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出） 考点四 倍长中线模型 例题：（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD