1.3.2 空间向量运算的坐标表示（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题． 2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题． 1、逻辑推理 2、数学运算 【自主学习】 一．空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝ 减法 a－b a－b＝ 数乘 λa λa＝ 数量积 a·b a·b＝ 2． 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝ 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？ 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.( )错 (2)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).(　　) (3)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.(　　) (4)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.(　　) 2.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 【经典例题】 题型一　空间向量的坐标运算 点拨：空间向量的坐标运算注意以下几点 (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． 例1 （1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________. （2） 设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________. （3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________. 【跟踪训练】1若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x＝________. 题型二　空间向量的平行与垂直 点拨：利用空间向量坐标形式证明两直线平行或垂直的步骤 ①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标; ②求出有关直线的方向向量; ③证明两直线平行即证明方向向量共线（特别注意：证明两直线平行要说明两条直线不重合）;证明两直线垂直即计算两直线方向向量的数量积为0； ④还原到几何问题，得出结论。 例2 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a． 题型三　空间向量夹角及长度的计算 点拨：利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题． 例3在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值． 【跟踪训练】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【当堂达标】 1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A.0° B.45°