1.3.1 空间直角坐标系（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.学会空间直角坐标系的建立方法， 2.掌握空间中一点的坐标表示， 3.掌握空间向量的坐标表示． 1、直观想象 2、数学运算 3、数学抽象 【自主学习】 一．空间直角坐标系 1.空间直角坐标系及相关概念 (1)单位正交基底： 三个有公共起点O的 的单位向量i，j，k称为 ． (2)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 ． (3)相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分． 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考1：空间直角坐标系有什么作用？ 二．空间一点的坐标 1.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标． 叫做点A的竖坐标． 2.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面 坐标的形式 3.在空间直角坐标系中，点对称问题 对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． (1)点（a，b，c）关于原点O对称点为 ； (2)关于x轴对称点为 ； (3)关于y轴对称点为 ； (4)关于z轴对称点为 ； (5)关于Oxy平面对称点为 ； (6)关于Oyz平面对称点为 ； (7)关于Ozx平面对称点为 . 思考2：在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？为什么？ 三．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 ． 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底．(　　) (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．( ) (3)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．(　　) (4)点A(－1，2，1)在x轴上的射影是(－1，0，0).(　 　) 2.若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为______． 【经典例题】 题型一 空间中点的坐标表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　 点拨：建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标． 例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标． 【跟踪训练】1已知关于轴的对称点是，则的值为（          ） A． B． C． D． 题型二　空间向量的坐标表示 点拨：用坐标表示空间向量的步骤如下： 例2 在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标． 【跟踪训练】2 如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空