第03讲 正方形的性质与判定-【暑假精品课堂】2022年新九年级数学暑假同步课（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定 一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 例1．下列命题中，正确的是（       ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 例2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（       ） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 例3．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（       ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 例4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（       ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 例5．如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为(            ) A．12 B．8 C．16 D．20 例6．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（            ） A．45° B．30° C．60° D．55° 例7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（       ） A．75° B．60° C．55° D．45° 例8．如图，下列结论：①四边形是平行四边形，且；②四边形是平行四边形，且；③四边形是矩形，且；④四边形是菱形，且．其中能推出四边形为正方形的有（       ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 例9．如图，正方形ABCD中，点A和点C的坐标分别为和，则点B和点D的坐标分别为（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 例10．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（       ）． A．8 B． C． D．10 例11．如图，正方形中，，则 （       ） A． B． C． D． 例12．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（       ） A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④ 一、单选题 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（       ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分 2．已知正方形的对角线相交于点，且，则的长度和的度数分别是（       ） A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（       ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A．22.5° B．25° C．23° D．20° 5．如图，正方形中，，则 （