第02讲 矩形的性质与判定-【暑假精品课堂】2022年新九年级数学暑假同步课（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 例1．下列性质中,矩形具有而一般平行四边形不具有的是（       ）． A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 例2．矩形ABCD的对角线AC､BD交于点O，以下结论不一定成立的是（       ） A．∠BCD=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OC=CD 例3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90° C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD 例4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（   ） A．30° B．60° C．90° D．120° 例5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 例6．如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（       ） 例7．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（       ） A．31° B．28° C．62° D．56° 例8．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 例9．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（       ） A． B． C． D． 例10．如图，矩形的对角线交于点O，平分交于点E，，则的大小是（       ） A． B． C． D．以上答案都不对 例11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，则AD的长为（　　） A．13cm B．12cm C．5cm D．8cm 例12．如图，矩形中，，，点是对角线上的一动点，以为直角边作等腰（其中），则的最小值是（       ） A． B． C． D． 一、单选题 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角线相等 2．在矩形中，相邻两边的长分别为，则两条对角线所夹的锐角是（       ） A．40° B．30° C．45° D．60° 3．下列命题中正确的是（       ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．四个角都相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 4．如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点，若，则的周长为（       ） A．10 B． C．