2.1 等式性质与不等式性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

2.1 等式性质与不等式性质 一、等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 题型一 利用不等式性质判断真假 【例1】如果那么下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确， 若，则AB错误，若，C错误．故选：D． 【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立； 选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立； 选项C：由于，所以，所以，所以成立； 选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立 【变式1-2】下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A.若，则，取 不成立 B.若，则，取 不成立 C. 若，，则，正确 D. 若，，则，取 不成立故答案选C 【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，当，时，，，此时，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，， ，，，D正确. 【变式1-4】已知，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确； ，则，B不正确； 又，即，则，，C正确； 由得，D不正确.故选：C 题型二 比较大小 【例2】设，则的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，.又，故． 综上可得：．故选：. 【变式2-1】已知，比较与的大小． 【答案】 【解析】因为， ． 所以． 所以， 即． 【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 【答案】 【解析】∵ . 又a，b均为正实数，当时，； 当时，，则. 综上所述，. 【变式2-3】比较与两个代数式的大小：； 【答案】； 【解析】， 因此，； 【变式2-4】设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 【变式2-5】已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 题型三 求代数式的取值范围 【例3】若，则的范围为_______ 【答案】 【解析】依题意可知， 由于，由不等式的性质可知. 【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，， 所以，， 则，，， 即，，，则； 故AB正确，CD错. 【变式3-2】已知，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】令， 则，解得， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 【变式3-3】已知实数，