1.3 集合的基本运算-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合的基本运算 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. 【例】设集合，，那么等于 . 解析 由并集的定义可知，. 【练1】设集合，，判断正方形与的关系. 解析 正方形 【练2】设集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 解析 ，集合 ，故选:. 2 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【例】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【练1】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【练2】设集合则实数＝　 　． 解析 因为，根据交集的运算推理得：是集合和集合的公共元素， 而集合中有，所以得到或(无解，舍去)，解得． 3 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【例】已知全集，，则等于(　　) 解析 全集中除去集合A中元素剩下的元素是，则. 【练】已知全集，集合，集合，求集合. 解析 ，， ，则． 4 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【题型1】离散型集合运算 【典题1】 设，， (1)求的值及； (2)设全集，求． 解析 (1)因为，所以， 所以，； 所以 (2)由(1)可知：，，， 所以． 【巩固练习】 1.设集合，，则等于( ) A． B． C． D． 答案 解析 依题意，，故，选. 2.已知集合，，，则(　　) A． B．　　C． D． 答案 解析 由，，， 得，，， ，选. 3.已知集合，则的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 ，则， ，的元素个数为．故选：． 4.已知集合且，则(　　) 答案 解析 ，， 或，或， ①时，，，集合错误，不满足集合元素的互异性， ； ②时，，，满足，即成立； ③时，，，，不成立， 综上得，，．故选：． 【题型2】连续型集合运算 【典题1】 已知全集，集合，， 求：(1) ，； (2) ． 解析 (1) ，． 用数轴表示集合，如图． ，． (2)由(1)知，如图所示． 因此． 点拨 处理涉及不等式的集合运算，多利用数轴进行运算. 【典题2】集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 解析 (1)如图所示，，，， 数轴上点在的左侧(含点)． ． (2)如图所示，，， ， 数轴上点a在和之间(含点，但不含点)． ． 点拨 注意对端点的处理，确定是否取得到端点. 【巩固练习】 1.集合，，则 (　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，，． 2.已知全集集合则集合 (　　) 答案 解析 ，，， ，．故选：． 3.设全集为实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 根据图像可知阴影部分为， 由可得； 由可得； 所以，故选. 4.已知集合若，则＝(　　) 答案 解析 ，，且， ， ，． 故选：． 【题型3】综合应用 【典题1】 已知集合定义，，则对于集合下列结论一定正确的是 (　　) 解析 根据题中的新定义得：且，且， 则． 故选：． 点拨 对新定义的题型，可以用具体的集合进行检验，排除一些选项，也可以用图理解其本质再作选择. 【典题2