1.2 集合间的基本关系-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合间的基本关系 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  【例】已知集合，，判断集合的关系． 解析 ，且，的可能取值为． ． 又，分别是． ．． 【练】若集合，且，则集合可能是 (　　) A． B． C． D． 解析 因为集合集合，且，所以集合是集合的子集， 当集合时，满足题意， 当集合时，，不满足题意， 当集合时，，不满足题意， 当集合时，，不满足题意， 故选． 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 【例】若，则满足条件的集合的个数是(　　) A． B． C． D． 解析 ， 集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素， 因此满足条件的集合为，，，，，，共个．故选：． 【练】已知集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个. 解析 集合，，，，，，，． 中至少含有一个奇数，，，． 这样的集合有个．故选． 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 【例】如果，，那么(　　) A．真包含于 B．真包含于 C． D．与没有交集 解析 当为偶数，设，，则， 当为奇数，设，，则， 集合和的元素相同，．故选： 【练】集合，，，则的关系(　　) A． B． C． D． 解析 ， ， ， 故，故选. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【例】求集合的子集和真子集. 解析 集合的子集是，共个； 集合的子集是，共个； 【练】求集合的子集和真子集. 解析 集合， 集合的子集是，共个； 集合的子集是，共个； 【题型1】判断集合间的关系 【典题1】 指出下列各对集合之间的关系： ，； 是菱形，是平行四边形； ，； ，． 解析 集合的代表元素是数，集合的代表元素是抛物线上的点， 故与之间无包含关系． 菱形是特殊的平行四边形，故． 集合，， 用数轴表示集合如图所示，由图可知． 由列举法知，，故． 点拨 先分析集合元素的特征，若元素不同类肯定无包含关系，若元素同类则化简集合后再由判断. 【典题2】 集合，，，则的关系(　　) A． B． C． D． 解析 方法1 把每个集合用列举法表示， ， ，， 故，故选. 方法2 设，，，其中； ，则； ，则，故. ，则， 不一定属于； 故，故选. 方法3 集合与的元素均是被除余，则；集合的元素是偶数，而集合元素是. 点拨 方法1利用列举法通过观察确定集合关系，不够严谨；方法2利用严谨的推理得到关系，略显抽象；方法3从“余数”的角度处理较为简洁. 【巩固练习】 1.以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 答案 解析 对于①：是集合与集合的关系，应该是；①不对． 对于②：空集是任何集合的子集，应该是；②对． 对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，；③不对． 对于④：根据集合的无序性可知；④对． 对于⑤：是一个空集合，表示没有任何元素，应该是；⑤不对． 正确的是：②④． 故选：． 2.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)是等边三角形，是等腰三角形； (3)，； (4)，． 答案 (1) 无包含关系 (2) (3) (4) 解析 (1)集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对， 故与之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故． (3)集合，用数轴表示集合如图所示，由图可知． (4)由列举法知，，故． 3.已知集合若则与的关系是(　　) 不能确定 答案 解析 ，显然的分子为奇数， ，显然的分子为整数， 集合的关系为， 故选：． 【题型2】求已知集合的子集或真子集 【典题1】 集合，则的非空真子集的个数是(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 解析 由题意集合且 ， 由对于含有个元素的集合，利用公式计算出的非空真子集个数， 的非空真子