3.3 幂函数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

幂函数 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【例】下列是幂函数的是 ( ) A. B. C. D. 解 的底数是常数，的系数不是，的底数不是，它们均不是幂函数，只有符合. 2正数的正分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的正分数指数幂的意义： Eg ，，. (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 定点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【题型1】幂函数的概念 【典题1】已知函数是幂函数，则______． 解析 由题意知，若为幂函数，则． 即，解得或． 巩固练习 1. 已知函数是幂函数，则的值为 　 ． 答案 解析 依题意得，，，则，. 2.已知幂函数的图象经过点，则的值为 　 ． 答案 解析 幂函数过点，，解得， ，. 【题型2】幂函数的图象及其性质 【典题1】函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 解析 由于在第一象限内直线的右侧时， 幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小(令可知)， 故指数由大变小排列，幂函数在第一象限内的图象为分别为，，，， 故选. 【典题2】 已知幂函数过点，则的解析式是 ，定义域是 ， 在上的单调性是 . 解析 是幂函数，设， 又过点， ，即， ，，即定义域是， 在上单调递增，在上单调递减， 其函数图象如下， 点拨 利用待定系数法求解函数解析式，注意指数幂的变化. 【典题3】已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则 . 解析 幂函数在上是减函数， 则，解得； 又，，，； 当时，，是奇函数，图象关于原点对称； 当时，，是偶函数，其图象关于轴对称； 当时，，是奇函数，图象关于原点对称. 综上，的值是或． 点拨 幂函数，时在上是增函数；时在上是减函数． 巩固练习 1.图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为 (　　) ． ． 答案 解析 根据指数函数的单调性，时，， 相应于曲线，，，的依次为． 故选：． 2.下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 答案 解析 ①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，比如，故错误； ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确； ③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误； ④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误； ⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确． 故选：． 3.函数的图象是(　　) A． B．C． D． 答案 解析 函数的定义域是，排除选项和， 又，曲线应该是下凸型递增抛物线．故选：． 4.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 答案 解析 ， 幂函数为奇函数，且在上递减， 是奇数，且， ． 5.已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 答案 解析 是偶函数，为偶数． 又在上是减函数， ，即．，或． 当时，为偶数，当时，为偶数． 的解析式为． 【题型3】幂函数的应用 【典题1】比较下列各组数的大小． (1) 和； (2) 和； 解析 (1)函数在上为减函数， 又，． (2)，函数在上为增函数， 又，，从而． 点拨 注意式子的结构，通过构造函数，利用其单调性比较大小.