3.2.1 函数的单调性与最值 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的单调性与最值 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① 在上单调递减，但它不是减函数. ② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． 【例】 若函数的定义域为且满足，则函数在上为 (　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定 解析 由于函数单调性的定义突出了的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选． (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言． 【例】说下函数的单调性. 解析 函数在整个定义域上不具有单调性，但是在上是减函数，在上是增函数； 【练】函数的单调递减区间是(　　). A． B． C． D． 解析 的减区间是，不是. 函数在上是减函数，在上也是减函数， 但不能说函数上是减函数． 因为当时有，不满足减函数的定义． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 【例】若递增，比较与大小. 答案 . 【例】若递增比较与大小. 答案 . 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值． 解析 观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为，最低点坐标为，所以当时，函数取得最大值；当时，取得最小值． 【例2】求函数在区间上的最大值和最小值. 解析 函数在区间上递增，则， 所以最大值，最小值. 【练】求函数在区间上的最大值和最小值. 解析 函数在区间上递减，则， 所以最大值，最小值. 【题型1】判断函数单调性的方法 方法1 定义法 【典题1】 判断在的单调性. 解析 设元 设 作差 则 变形 (因式分解判断正负) 定号 (1) 假如则 又所以故函数单调递减； (2) 假如则 又所以故函数单调递增； 下结论 所以函数在内单调递减，在内单调递增． 点拨 利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论. 方法2 数形结合 【典题1】 求下列函数的单调区间． (1) ；(2) ． 解析 令． 先作出函数的图象，保留其在轴及轴上方部分，把它在轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是，； 函数的递减区间是． ，图象如图所示． 由图象可知，函数的单调区间为， 其中单调减区间为和，单调增区间为和． 点拨 1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换； 2.利用数形结合易得函数的单调性. 方法3 复合函数的单调性 【典题1】 函数的单调减区间为 . 【解析】函数是由函数和组成的复合函数， 函数的定义域是 由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增， 而在是单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 【点拨】 ① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域； ② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的. 【巩固练习】 1.在区间上不是增函数的函