3.1.2 函数的表示 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的表示 1函数的表示方法 表格法 如上表，我们很容易看到与之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 【例】描点法画函数的图像. 解析 列表 描点连线得 图像法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 解析式 比如正方形周长与边长间的解析式为，圆的面积与半径的解析式等. 求函数解析式的方法 ① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法 【例】购买某种饮料听，所需钱数是元．若每听元，试分别用解析法、列表法、图象法将表示成的函数． 解析 解析法 ． 列表法 图象法 2 分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【例】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费， 用水量 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨的部分 求用水量与水费之间的函数关系，并求用水吨和吨的水费. 解析 设用水量为吨，水费为元， 依题意知当时，元；当时，元， 故用水量与水费之间的函数关系为， 所以，，即用水吨和吨的水费分别为元、元. 【题型1】求函数解析式 方法1 待定系数法 【典题1】 已知函数是二次函数，若，求的解析式． 解析 设， 若，且， 且， ，解得． ； 点拨 当若已知函数的类型，求其解析式时可用待定系数法. 方法2 换元法 【典题1】 已知，求. 解析 令，则， (若这里的范围不能忽略) 点拨 用换元法时注意新变量的取值范围. 方法3 方程组法 【典题1】 已知，则的解析式是　 　． 解析 …①， 用代替，得：…②； ②①得：， ． 【巩固练习】 1. 已知，则有(　　) A． B． C． D． 答案 解析 设，，则， ，，，．故选：． 2.已知，则的解集为 . 答案 解析 ， 令，则， ， ， 由，得，解得或， 的解集为． 3.设是一次函数，且，求的解析式. 答案 或 解析 设， 则 或 或. 4.满足，求的解析式. 答案 . 解析 ① 显然,将换成，得② 解① ②联立的方程组，得. 【题型2】与分段函数有关问题 【典题1】 已知函数． (1)画出函数图象； (2)求，的值； (3)当时，求的取值范围． 解析 (1) 函数的图象如图， (2) ，； (3) 方法1 由图象可知，当时，． 方法2 当时，，解得，即； 当时，满足，所以； 当时，，解得； 综上可得的取值范围是． 点拨 对于分段函数的赋值问题，特别要注意分类讨论. 【典题2】 已知函数与轴有个交点，则实数的取值范围是　 ． 解析 ① 当，与轴有个交点，不满足题意； ② 当时，与轴没有交点，不可能满足题意； ③ 当时，与轴有个交点， 若要满足题意，则在上与轴有个交点， ，解得，故答案为． 【巩固练习】 1.设函数，若，则实数的值为　 　． 答案 解析 由题意知，； 当时，有，解得，(不满足条件，舍去)； 当时，有，解得(不满足条件，舍去)或． 所以实数的值是：． 2.已知函数，则不等式的解集为　 ． 答案 解析 时，，解得， 因为，故； 时，，解得， 综上所述，不等式的解集为 故答案为：. 3.作下列各函数的图象． (1) (2)； 解析 (1)这个函数的图象由两部分组成：当时，为双曲线的一段； 当时，为直线的一段，如下图． (2)方法一所给函数可写成是端点为的两条射线，如下图． 方法二可以先画函数的图象，然后把其在轴下方的图象对称到上方．如图． 4. 求函数的值域. 答案 解析 ，开口向下，最大值为 而 开口向上，而， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为. 5.已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围. 答案 解析 函数的图象，如图， 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足； 则的取值范围是：；即． 【题型3】函数的简单应用 【典题1】 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　) A．1个　　 　B．2个　 　　C．3个　　 　D．4个 解析 对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数