3.1.1 函数的概念 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的概念 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【例】求下列函数的定义域. (1) (2). 答案 (1) (2). 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【例】求下列函数值域. 解析 (1) 函数的值域是； (2) 画出的图象． 由图象可知的值域为． 4 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【例】将下列集合用区间表示出来． (1)；(2)；(3)；(4)或． 解析 (1) ；(2) ；(3) ；(4)． 【练】将下列集合用区间表示出来． (1)；(2)；(3)；(4)或． 解析 (1) ；(2) ；(3) ；(4)． 【题型1】函数概念的理解 【典题1】图中四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有________． 解析 由函数定义可知，任意作一条直线，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，当或时，直线与函数的图象没有交点．从而表示是的函数关系的有． 答案： 点拨 判断函数的图像，主要看是否对于任意一个是否对应唯一的指. 【典题2】给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④． ① ② ③ ．④ 解析 ①由得，不满足函数的定义，所以①不是函数． ②由0得|x－1|=0，0，所以，所以②不是函数． ③由1得，满足函数的定义，所以③是函数． ④要使函数有意义，则，解得，此时不等式组无解，所以④不是函数． 故选：． 【巩固练习】 1.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是 (　　) A． B． C．D． 答案 解析 由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， 选项中的图象都符合；项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选：． 2.函数与函数 (　　) 是同一个函数 定义域相同 图象重合 值域相同 答案 解析 由于函数中的范围与函数中的范围相同，且两个函 数具有相同的对应关系，故函数与函数具有相同的值域， 故选：． 3.下列式子中是的函数的是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 对于，满足函数的定义， 对于：的定义域为，故不满足函数的定义， 对于，当时，都有个值相对应，故不满足函数的定义，故选：． 【题型2】函数的定义域 【典题1】 求下列函数的定义域： ； ． 解析 (1)因为要使函数有意义，需且， 所以函数的定义域为． (2)因为要使函数有意义，需解得且且， 所以函数的定义域为． 【典题2】已知定义域为，求的定义域. 解析 故函数的定义域是. 点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关， 若把题目换成“已知定义域为，求的定义域.”好理解多了， ① 谨记定义域指的是自变量的取值范围， 所以由“定义域