2.1 等式性质与不等式性质-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

等式性质与不等式性质 1等式的性质 (1)如果，那么； (2)如果，，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么； (5)如果，，那么. 2不等式关系与不等式 ① 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 【例1】证明：若，，则. 证明 若，，则,, ，即. 【例2】已知且，则 ( ) A、 B、 C、 D、 解析 且，， ，，又，， ，，又, ， 成立，故选. 【练】若，则下列不等式中不成立的是(　　) ，，．因此不正确．故选：． ② 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 【例】比较与的大小. 解析 ， . 【练】已知，，则(　　) 的大小与的取值有关 ， 故，故选：． 【题型1】不等式性质的运用 【典题1】已知，，求证：. 证明 ， ，， ，，即，. ，即. 点拨 证明过程中，多尝试利用分析法求解， 即要证明只需要证明. 【典题2】若，则下列结论不正确的是( ) A． B． C． D． 解析 方法1 因为，所以 ， 则，且，故选项正确， 而，故错误. 方法2 取特殊值排除法 因为，所以可令，显然均对，错，故选. 点拨 选择题可采取排除法！ 【典题3】已知，，求取值范围． 解析 方法1 ， 即，检验可得两个等号均可取， . 方法2 设，，则，， ，， ，， 又，， 即. 点拨 方法中特别注意严谨性，要注意等号是否取到，比如当时，，即而不是；方法2利用换元法，取到等号的问题变得简洁些了！ 【巩固练习】 1.对于实数，下列结论中正确的是 ( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 答案 解析 对于，，若，则，故错； 对于，，取，即，故错； 对于，，取，即，故错； 对于，若，则，又，所以 所以，又，所以，故正确. 2.已知，那么下列不等式中正确的是( ) A． B． C． D． 答案 解析 由题根据不等式的性质，选项，数的正负不明，错误； 而选项，无论取任何数都成立. 3.若，则下列结论不正确的是(　　) C． D． 答案 解析 ，，，． 设，时，与矛盾．因此只有错误．故选：． 4.若，且则下列不等式中，一定成立的是(　　) 答案 解析 ，．又，．故选：． 5.实数满足，则下列不等式正确的是(　　) 答案 解析 ， 错误，比如，得出； ，，该选项正确； 错误，比如|时，； 时， ，，该选项错误． 故选：． 6.若，则的取值范围是________． 答案 解析 ，，， 又，，的取值范围是． 7.已知，，求证：. 解析 由，得，所以，所以. 【题型2】 比较大小 【典题1】 设，则的大小关系为 ． 解析 ，， ，． 【典题2】已知，，，则正确的结论是(　　) 与的大小不确定 解析 方法一 特殊值法 取特殊值，令，则，， 易知, 排除，还不能排除，猜测选. 方法二 做差法，分析法 要比较大小，只需要比较的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号) 而显然，故，故，故选. 方法三 共轭根式法 ，， ， ， ，即，故选. 点拨 1.比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法； 2.方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨； 3.方法三中注意到. 若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点. . 【典题3】已知，试比较与的大小． 解析 方法1 作差法 ， (作差法，确定差，由于，只需要判断) 当时，，，则，即； 当时，，则，即． 综上可得时，；时，． 方法2 作商法 ， (确定与的大小只需要确定与的大小) 当时，，则； 当时，，则． 综上可得时，；时，． 点拨 比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与. 【巩固练习】 1已知，，则(　　) 的大小与的取值有关 答案 解析 ， 故，故选：． 2.已知，则与的大小关系是( ) A． B． C． D．无法确定 答案 解析 方法一 取特殊值排除法，令，很容易得到. 方法二 . 3.若A，，则的大小关系为　 　． 答案