专题17 立体几何解答题-【2023高考必备】十年（2013-2022）高考数学真题分项汇编（理科，全国通用）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编 专题17 立体几何解答题 一、解答题 1．(2022年全国甲卷理科·第18题)在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析：； (2)． 解析：(1)证明：在四边形中，作于，于， 因为，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，， 所以，所以， 因为平面，平面，所以，又， 所以平面，又因平面，所以； (2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则，所以与平面所成角的正弦值为． 【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第18题 2．(2022年全国乙卷理科·第18题)如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面所成的角的正弦值为 解析：【小问1详解】 因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 连接，由(1)知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小． 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以． 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为． 【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第18题 3．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 解析:(1)证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 (2)解：过点作，如图建立平面直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，，所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 所以 设二面角为，由图可知二面角为钝二面角， 所以，所以 故二面角的正弦值为； 【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题 【题目来源】2022新高考全国II卷·第20题 4．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 解析：(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； (2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由(1)得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为． 【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题 【题目来源】2022新高考全国I卷·第19题 5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若． (1)证明：平面平面； (2)求二面角平面角的余弦值． 【答案】解析: (1)取的中点为，连接．因为，，则， 而，故．在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面． (2)在平面内，过作，交于，则，结合(1)中的平面，故可建如图所示的空间坐标系． 则，故． 设平面的法向量， 则即，取，则，故． 而平面的法向量为，故．二面角的平面角为锐角，故其余弦值为． 【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题 【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题 6．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． (1)证明：； (2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】解析：(1)因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD， 因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥B