第02讲 推理能力课--特殊四边形的证明-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第2讲 推理能力课--特殊四边形证明 I. 知识梳理 （一）菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2、菱形的性质：      ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；      ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；      ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 3、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式．   ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 4、菱形的判定： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． （二）矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2、矩形的性质：     · 平行四边形的性质矩形都具有； · 角：矩形的四个角都是直角；     · 边：邻边垂直；     · 对角线：矩形的对角线相等；      · 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形． 3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4、矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 说明： 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． 题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． （三）正方形 1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2、正方形的性质： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 1 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3、正方形的判定： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． II.考点精讲 01. 菱形的性质与判定 例题精讲 例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【解析】A． 例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形， ∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确； ②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB， ∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确； ③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误； ④S△ABD=AB•DE=AB•BE=AB•AB=AB2，即④正确． 综上可得①②④正确，共3个．故选C． 例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 【解析】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF， ∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形； （2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8． 02. 矩形的性质与判定 例题精讲 例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【解析】A． 例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，