第01讲 推理能力课--平行四边形证明-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第01讲 推理能力课--平行四边形证明 I. 知识梳理 一、平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。 （2）平行四边形的边、角性质 边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。 角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的 距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、 （5）平行四边形的周长与面积 ①面积公式：平行四边形的面积=底高； ②等底等高的平行四边形的面积相等； ③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二、平行四边形判定方法 （1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三、三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的 一半。 II. 考点精讲 01. 平行四边形的性质 例题精讲 例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 【解答】选C．由平行四边形的性质可知：AD//BC，所以∠DEB+∠EBC=180°且∠A+∠ABC=180°，所以可先求出∠EBC=30°，再由角平分线的性质可推出∠A为120° 例2、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　） A．13 B．17 C．20 D．26 【解答】选B． 例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE 【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， 又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC， ∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确； ∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D． 例4、如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　36°　． 【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°， 由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°， ∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°， ∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°． 例5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD； （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4． 02.平行四边形的判定 例题精讲 例6、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：四边形EFCD是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三