1.1.2 空间向量的数量积运算（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算（分层作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0； 对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0； 对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0； 对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0. 故选：． 2．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（       ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】结合向量夹角，先求解， 再求解. 【详解】． 故选：C. 3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】如图所示，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 则， 当时，的最小值为. 故选：D. 4．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得； 【详解】解：因为，，所以 所以， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 故选：C 5．（2022·全国·高二）两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是（       ） A．的充要条件为 B．的充要条件为 C．的充要条件为存在实数使得 D．的充要条件为 【答案】D 【分析】依据面面垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项A；依据线线垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项B；依据面面平行的定义及数乘向量的几何意义判断选项C；依据线面平行的定义及向量数量积的几何意义判断选项D. 【详解】选项A：.判断正确； 选项B：.判断正确； 选项C：存在实数使得.判断正确； 选项D：若，则有；若，则有或， 则是的充分不必要条件.判断错误. 故选：D 二、多选题 6．（2022·全国·高二）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是(       ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可． 【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设. ， ，故A正确； ，故B正确； ∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确； 由图易知，故＝0，故D正确. 故选：ABD． 7．（2022·全国·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 三、填空题 8．（2022·全国·高二课时练习）空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，即_______． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积运算法则，即可求解. 【详解】根据空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，可得. 故答案为：. 9．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则________． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为，与的夹角为， 所以由， 故答案为： 10．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得向量的坐标，再依据题给条件列方程去求向量的坐标即可解决. 【详解】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， 则 则，又向量与向量不共线，则不成立 则可令，即， 故答案为：（答案不唯一） 11．（2022·四川省成都市新都一中高二期