第十一讲 一次函数中的最值问题-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第十一讲 一次函数中的最值问题 目录 必备知识点 1 考点一 AP+PB型 2 考点二 AM+MN+NB最小型 4 ( 知识导航 ) 必备知识点 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A’ 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 考点一 AP+PB型 1．一次函数y＝kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入y＝kx+b得： 0＝2k+b，4＝b， ∴k＝﹣2，b＝4， ∴解析式为：y＝﹣2x+4； （2）设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P′，连接P′C，则PC＝PC′， ∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D，即PC+PD的最小值是C′D． 连接CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2，即PC′+PD的最小值为2， ∵OA、AB的中点分别为C、D， ∴CD是△OBA的中位线， ∴OP∥CD，CD＝OB＝2， ∵C′O＝OC， ∴OP是△C′CD的中位线， ∴OP＝CD＝1， ∴点P的坐标为（0，1）， 设直线PC的解析式为y＝mx+n，则 n＝1，m+n＝0， 解得m＝﹣1． 则直线PC的解析式为y＝﹣x+1， 联立直线AB的解析式和直线PC的解析式得， 解得． 故直线PC与直线AB的交点坐标为（3，﹣2）． 2．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣2），与x轴相交于B（6，0），与y轴相交于C，与直线l1相交于点D． （1）求直线l2的函数关系式； （2）点P是l2上一点，且S△ABP＝S△ABD，求点P的坐标； （3）设点Q的坐标为（m，﹣4），是否存在m值，使QB+QD的值最小？若存在，请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 【解答】解：（1）将点（3，﹣2），B（6，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线l2的函数关系式：． （2）联立， 得， ∴D（）， ∵S△ABP＝S△ABD， ∴P点纵坐标为±＝±4， 当p点纵坐标为4时，代入， 得x＝12， 此时P（12，4）， 当p点纵坐标为﹣4时，代入， 得x＝0， 此时P（0，﹣4）， 综上，P点坐标为（12，4）或（0，﹣4）． （3）存在，理由如下： ∵点Q的坐标为（m，﹣4）， ∴点Q在直线y＝﹣4上， 作点D关于y＝﹣4的对称点D′，连接BD′，与直线y＝﹣4的交点即为Q，如图所示： 则D′（）， 设BD′的直线解析式：y＝kx+b， 代入D′，B的坐标， 得， 解得， ∴BD′的解析式：y＝x﹣16， 当y＝﹣4时，解得x＝． ∴当Q（，﹣4）时，QB+QD的值最小． 3．如图表示一个正比例函数y1＝k1x与一个一次函数y2＝k2x+b的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求这两个函数的解析式． （2）求两函数与y轴围成的三角形的面积； （3）在直线x＝﹣3上找一点P，使得△PAB的周长最小，试求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A坐标为（4，3）， ∴OA＝＝5， ∵OA＝OB， ∴B点坐标为（0，﹣5）， 把A（4，3）代入y1＝k1x，求得k1＝， ∴y1＝x； 把A（4，3），B（0，﹣5）代入y2＝k2x+b，求得k2＝2，b＝﹣5， ∴y2＝2x﹣5． （2）S△AOB＝OB•xA ＝ ＝10． （3）因为△PAB周长为PA+PB+AB， 所以求△PAB周长最小，也就是求PA+PB的最小值． 作出点A对于直线x＝﹣3的对称点A'，连接A'B，交直线x＝﹣3于点P，如右图： 此时△PAB周长最小． 设直线A'B的解析式为y＝kx+b， 因为经过A'（﹣10，3），B（0，﹣5）， 所以代入y＝kx+b求得k＝﹣，b＝﹣5， 所以y＝﹣x﹣5． 当x＝﹣3时，y＝＝﹣， 所以点P坐标为（﹣3，﹣）． 4．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5