第十二讲 一次函数函数中等腰三角形的存在性-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第十二讲 一次函数中等腰三角形的存在性 ( 知识导航 ) 必备知识点 “两圆一线”得坐标： （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标． 代数法： （1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 考点一 等腰三角形的存在性 1．如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）求BD的长； （3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形． 【解答】解：（1）∵把y＝x的图象向下平移1个单位， ∴y＝x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1， ∴B（0，﹣1）， 当y＝0时，x＝2， ∴A（2，0）； （2）∵A（2，0），B（0，﹣1）， ∴AB＝， ∵C为线段AB的中点， ∴C（1，﹣）， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠BAO， ∴sin∠BAO＝＝， ∴BD＝； （3）∵BD＝， ∴D（0，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣2x+， 当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上， ∴E点与D点重合或E点是CD与x轴的交点， ∴E（0，）或E（，0）； 当BA＝BE时，BE＝， ∴E（0，﹣1+）或（0，﹣1﹣）或（﹣2，0）； 当AB＝AE时，E（2+，0）或（0，1）或（2﹣，0）； 综上所述：E点坐标为（0，）或（，0）或（0，﹣1+）或（0，﹣1﹣）或（﹣2，0）或（2+，0）或（0，1）或（2﹣，0）． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标； （3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（4，2），B（6，0）代入得：，解得：， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6； （2）作点B（6，0）关于y轴的对称点B'， ∴B'（﹣6，0）， 连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小， 设直线AB'的解析式为y＝mx+n， 将A（4，2），B'（﹣6，0）代入得：，解得：， ∴直线AB'的解析式为：y＝x+， 当x＝0时，y＝，∴M（0，）； （3）存在，理由： 设：点N（m，0），点A（4，2），点O（0，0）， 则AO2＝20，AN2＝（m﹣4）2+4，ON2＝m2， ①当AO＝AN时，20＝（m﹣4）2+4， 解得：m＝8或0（舍去0）； ②当AO＝ON时，同理可得：m＝； ③当AN＝ON时，同理可得：m＝； 故符合条件的点N坐标为：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）． 3．如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）． （1）求m的值和直线l2的函数表达式； （2）直线l2在第一象限内的部分上有一点E，且△ADE的面积是△ADB面积的一半，求出点E的坐标，并在x轴上找一点P，使得CP+PE的值最小，求出这个最小值； （3）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； 【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线l1：y＝﹣3x+3上， ∴m＝﹣3×2+3＝﹣3， 设直线l2的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l2经过点A（4，0），点B（2，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝x﹣6； （2）当y＝0时，0＝﹣3x+3， ∴x＝1， ∴D（1，0）， ∴AD＝4﹣1＝3， ∵点B的纵坐标为：m＝﹣3， ∴S△ADB＝×3×3＝， 设E的坐标为：（a，a﹣6）， 则S△ADE＝×3×（a﹣6）＝×， 解得：a＝5， ∴E（5，）， ∵点C在直线l1：y＝﹣3x+3上， ∴x＝0时，y＝3， ∴点C（0，3）， 作C关于x轴的对称点C′（0，﹣3）， 连接C′E，交x轴于P点，连接CP，此时CP+EP有最小值， 最小值为C′E的长，如图1所示： C′E＝＝； （3）由得：， ∴B（2，﹣3）， ∴BD＝＝， 分三种情况： ①BQ＝BD时，作BM⊥