第十三讲 一次函数函数的实际应用-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第十三讲 一次函数的实际应用 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、最优解问题 1、根据实际情景确立数学模型 2、列出一次函数表达式 3、确定自变的取值范围 4、根据一次函数的单调性在比变量取值范围内确定最优解 二、最佳方案选择 1、根据实际情景确立数学模型 2、列出各方案的数学表达式 3、求出两函数图像的交点 4、根据实际情况确定最佳方案 考点一 一次函数的实际应用 1．在2019年全国青少年信息学联赛中，巴蜀中学创历史新高，有69人获得“全国信息学联赛一等奖”，充分展现了巴蜀人探索求知的精神，实力冠绝重庆．学校想借此提升信息课的教学质量，准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购12个无线鼠标和16个有线鼠标共花费972元，采购25个无线鼠标比采购8个有线鼠标多花费909元． （1）求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少？ （2）学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W（单位：元）表示本次计划采购的总费用，请求出W的最小值． 【解答】解：（1）设采购的无线鼠标的单价为x元，采购的有线鼠标的单价为y元， 由题意得， 解得， 答：采购的无线鼠标的单价为45元，采购的有线鼠标的单价为27元； （2）设采购的无线鼠标有a个，则采购的有线鼠标有（420﹣a）个， 由题意得a≥420﹣a， ∴a≥210， ∵W＝45a+27（420﹣a）＝18a+11340，18＞0， ∴当a＝210时，W的值最小，W的最小值为15120元． 答：W的最小值为15120元． 2．某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表． 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 2100元 第二周 4台 10台 3600元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A，B两种型号的台灯的销售单价； （2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？ （3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设A、B两种型号的台灯的销售价分别为x、y元， 则：， 解得：， 答：A、B两种型号台灯的销售介分别为300元和240元． （2）设采购A种型号台灯a台，则采购B种型号的台灯扇（40﹣a）台， 则200a+170（40﹣a）≤7250， 解得：a≤15， 答：最多采购A种型号的台灯15台． （3）根据题意得： 所得利润＝（300﹣200）a+（240﹣170）（40﹣a）＝30a+2800， ∵30＞0， ∴所得利润随着a的增大而增大， ∴最大利润＝15×30+2800＝3250（元）． 3．为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 6 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 9 8.5 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元． （1）求a，b的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得； （2）①由题意得，销售鲢鱼获利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120）， （Ⅰ）当300﹣x≤200时，100≤x≤120，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900； ∴当100≤x≤120时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900， （Ⅱ）当300﹣x＞200时，80≤x＜100，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850； ∴当80≤x＜100时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850， 综上所述，y＝； ②设销售获利W元，由题意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝