2022年初高衔接数学讲义第十三讲 指数与指数函数（一）

指数与指数函数（一） 【观察与思考】 指数运算 1．（1）方程的根是什么？它们叫作5的什么？怎么表示？ （2）方程的根是什么？它们叫作5的什么？怎么表示？ 2．我们已经知道若，则，那么等于什么？呢？呢？ 1．（1）a的n次方根定义 如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 n为偶数 [0，＋∞） （3）根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．（1）（，且）； （2）（，且）； （3）（n为大于1的奇数）； （4）（n为大于1的偶数）． 【例题1】求使等式成立的实数a的取值范围． 【练习】 1．若，求a的取值范围． 【例题2】化简： （1）； （2）（）； （3）． 【练习】 2．求下列各式的值： （1）； （2）（）； （3）． 【例题3】设，求的值． 【练习】 3．例3中，若将“”变为“”，则结果又是什么？ 【观察与思考】 分数指数 1．根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ①（）； ②（）； ③（）． 2． 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ 1．（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：（，m，n，且）； （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：（，m，n，且）； （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）aras=ar＋s（，r，s）； （2）（，r，s）； （3）（，，r）． 一般地，无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【例题4】用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0，x>0，y>0）： （1）；（2）；（3）；（4）． 【练习】 4．列根式化成分数指数幂： （1）； （2）（）； （3）； （4） ． 【例题5】计算下列各式（式中字母都是正数）： （1） （2） （3） 【练习】 5．（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值． 6．已知，，且，，求a的值． 7． 已知x＋y＝12