2022年初高衔接数学讲义第四讲 简单逻辑用语

简单逻辑用语 【观察与思考】 充分条件和必要条件 p：和q：之间是什么样的关系？ 思考：若p成立，q一定成立吗？反之，若q成立，p一定成立吗？ 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由条件p通过推理可以得出结论q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件（此时，如果q不成立，则p一定不成立。所以，q对于p的成立而言是必要的）； “若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推理可以得出结论q．记p q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 整理得： 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．（符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．）此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 整理得： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且pq p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 【例题1】 指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）． （1） 在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； （2） 对于实数x，y，p：x+y=8，q：x=2且y=6； （3） p：，q：a=3； （4） p：a<b，q：． 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A B，则p是q的充分条件； 若A B，则p是q的必要条件； 若A