1.5 全称量词与存在量词-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

1.5 全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 二、存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分， 称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 四、命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】下列命题中为全称量词命题的是（ ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【分析】根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案. 【解析】对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题； 对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题； 对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题； 对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题.故选：B. 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（ ） A．有一个偶数是素数 B．一元二次方程不总有实数根 C．每个四边形的内角和都是 D．有些三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知， A,B,D是存在量词命题，C是全称量词命题.故选：C. 【变式1-2】下列语句不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个学生都充满阳光 【答案】C 【解析】A中的量词为“任意一个”，是全称量词；B中的量词为“都是”，是全称量词； D中的量词为“每一个”，是全称量词； C中的量词为“绝大多数”，是存在量词命题，不是全称量词．故选：. 【变式1-3】下列语句是存在量词命题的是（ ） A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．若，则 D．， 【答案】B 【解析】对于A，不是命题，不能判断真假，故A错误； 对于B，命题含有存在量词“存在”，故B是存在性命题，B正确； 对于C，是“若p则q”的形式命题，C错误； 对于D，是全称量词命题，D错误.故选：B 【变式1-4】判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题. （1）所有不等式的解集A，都满足A⊆R； （2）有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；