专题06 勾股定理综合应用（一） -【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题06 勾股定理综合应用（一） 题型一 与倍长中线结合 1．如图中，点为的中点，，，，则的面积是　　． 2．如图，，，，，，取的中点，连结，则　　． 题型二 存在性问题 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为 　　． 4．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把三角形折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若三角形的面积为，那么折叠三角形的面积为　 　． 5．中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　　． 题型三 旋转问题 6．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至△的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为 　　． 7．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的长为　　． 8．如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得△，当点恰好落在线段上时，则　　． 9．如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 10．已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，若为内部一点，请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若为边上一点，，，求的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求的长． 11．已知中，． （1）如图1，在中，，点在线段上，，连接，请写出： ①和之间的位置和数量关系为 　　、　　； ②、和之间的数量关系为 　　． （2）如图2，在中，，连接、，若，于点，，，求线段的长； （3）如图3，点是等边外一点，，若，，则的长为 　　，请简要写出解答过程． 12．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边，是外一点，连接、、，若，，，求的长． 该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． 、是等边三角形， ，，． 　　， ， 　　， ． ，， ． ， 　　． 【尝试应用】如图4，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】如图5，在中，，，以为边向外作等腰，，，连接，求的最大值． 13．在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接． （1）求证：； （2）求线段、、之间的数量关系． （3）若，，求． 14．已知，在中，，，． （1）如图1，若，且点在的延长线上时，求证：； （2）如图2，若，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，，求的长． 15．请阅读下列材料： 问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，、求度数的大小和等边三角形的边长． 李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接，可得△是等边三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数的大小和正方形的边长． 16．如图1，在中，，、是斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． （1）试说明：； （2）当，时，求的度数和的长； （3）如图2，和都是等腰直角三角形，，是斜边所在直线上一点，，，求的长． 1 / 9 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理综合应用（一） 题型一 与倍长中线结合 1．如图中，点为的中点，，，，则的面积是　6　． 【解答】解：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， ，，， 为△，， 的面积等于的面积为：． 故答案为：6． 2．如图，，，，，，取的中点，连结，则　　． 【解答】解：延长交于点， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型二 存在性问题 3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为 　1或7　． 【解答】解：作于， 在中，，， ， ， ①如图1，当点在上时， ， ． ． ． ． ②如图2，当点在上时， ， ． ． ， 综上所述，的长为1或7． 故答案为：1或7． 4．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把三角形折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若三角形的面积为，那么折叠三角形的面积为　16.9　． 【解答】解：三角形的面积为，， ， 在中，， ， ， 又， 在中，， ， ， ． 5．中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则