专题05 勾股定理中的最值问题 -【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题05 勾股定理中的最值问题 题型一 平面图形中求最值 1．如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是　　． 3．如图，长方形中，，，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是　　． 4．如图，点为线段上的一个动点，在同侧分别以和为边作等边和等边，若，则线段的最小值为 　　． 5．如图，已知，为上一点，于，四边形为正方形，为射线上一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为　　． 6．如图，河边有，两个村庄，村距河边，村距河边，两村平行于河边方向的水平距离为，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到村和村． （1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站的位置（不写作法） （2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？ 7．如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，厂距离河边，经测量，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂． （1）设，请用的代数式表示的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 8．如图，已知中，，，延长至使，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若为线段的中点，且，点为线段上一动点，连接，． ①求的最小值； ②求的最小值． 9．如图，在中，，，，等腰直角中，，且点是边上一点． （1）求的长； （2）如图1，当点恰在上时，求点到的距离； （3）如图2，当点从点向点运动时，求点到的距离的最大值． 10．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世，著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客，小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图与直线垂直，垂足为，点到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点，点到、的距离之和． （1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小． 题型二 立体图形中的最短路径问题 11．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为　　 A．15 B．17 C．20 D．25 12．有一长、宽、高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点处在长方体的表面爬到长方体上和相对的棱的中点处，则需要爬行的最短路径长为　　 A． B． C． D． 13．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是　　 A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 14．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　 A． B． C． D． 15．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为　　 A．米 B．米 C．米 D．5米 16．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 17．如图，已知圆柱底面的周长为4，圆柱的高为2，在圆柱的侧面上，过点和点有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为　　 A． B． C． D． 18．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在点的蚂蚁想吃到点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是 　　． 19．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点离点的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是　　 A． B．5 C． D． 20．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 　　（杯壁厚度不计）． 21．如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是 　　． 22．如图，圆柱的底面直径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点移动的最短距离为