1.2 空间向量基本定理 -【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 . 若，则点四点共面. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( ) A． B． C． D． 【解析】 对于，若向量共面， 则， 即，解得， 故向量共面，故错误， 对于，若向量共面，则，无解， 故向量不共面，故正确， 对于，若向量共面， 则，即，解得， 故向量共面，故错误， 对于，若向量共面，则，解得， 故向量共面，故错误． 故选：． 【典题2】已知非零向量，，且不共面．若，则 . 【解析】不共面，故可看作空间向量的一组基底， ，故存在，使得， 即， ，解得：，则． 【典题3】 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点在棱上，且满足，若，则 ( ) A． B． C． D． 【解析】因为， ． 故选：． 巩固练习 1(★) 已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】 【解析】 由于向量不能构成空间的一个基底知共面， 所以四点共面，故选：． 2(★) (多选题)下面四个结论正确的是( ) A．空间向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．任意向量满足 【答案】 【解析】 对于：空间向量，若，则，故正确； 对于：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故正确； 对于：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故正确； 对于：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故错误． 故选：． 3(★★) 如图所示，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则　( ) A． B． C． D． 【答案】 【解析】 连接， 是的中点，， ， ， 故选：． 4(★★) 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】 在平行六面体中，为与的交点； ； 故选：． 【题型二】空间向量基本定理的应用 【典题1】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面. 【求证】如图，设，令，则， ， ， 又，， ，，， 同理可证， 又，平面， 平面. 【典题2】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值． 【证明】 如图示： 连接并延长交于点， 由题意可令为空间的一个基底， 故 ， 连接，因为点共面， 故存在实数，使得， 即， 故， 由空间向量基本定理知， 故，为定值． 【巩固练习】 1(★★) 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设． (1)用表示；(2)证明：． 【答案】 (1) (2)略 【解析】 (1)因为为正三角形，点为的重心，所以为的中点， 所以， 所以． (2)设三棱柱的棱长为， 则， 所以． 2(★★) 如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且 求证:；求与所成角的余弦值. 【答案】 (1) 略 (2) 【解析】 (1)证明 设， 则 ， , . (2)解 由(1)知，， 又， ， ， 与所成角的余弦值为. 3(★★★) 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】 (1) (2)略 (3) 【解析】(1)． 证明：(2)，， ，共面． 解：(3)当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 4(★★★) 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且.