1.1.2 空间向量数量积的运算-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量数量积的运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2向量的模 设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 5 空间向量数量积运算律 ① ② (交换律) ③ (分配律) ④不满足乘法结合律: 【题型一】数量积的运算 【典题1】如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． 【解析】在三棱锥中，连结，取的中点为，连结，则， 异面直线所成的角就是． ，，点分别是的中点， ， 又． ． 由图可知，与所成角为钝角，则． ． 故答案为：． 【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点， 则( ) A． B． C． D． 【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体， 分别为棱的中点， ． 故选：． 【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把转化为，因为，，，四个向量之间数量积易求. 巩固练习 1(★) 平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】 【解析】 ， ，可得．可得． 则的形状是等腰三角形．故选：． 2(★) 在空间四边形中，，　( ) A． B． C． D．不确定 【答案】 【解析】 根据题意，， 故选：． 3(★★) 如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意得， 故． 4(★★) 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， . 【答案】 【解析】 ，， 平面，直线， 当最短时，平面，， 为的中心，为线段的中点， 如图： 又正四面体的棱长为，， 平面，， ． 5(★★★★) 已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　 ． 【答案】 【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点， 为球心，， 即有，， 由，① 则有，即有，② 同理对①两边取点乘，可得，③ 又④ 由②③④解得，，即有． 即有， 即为， 又， 即，⑤ 又在直角三角形中，，即有⑥ 由⑤⑥解得， 则有球的表面积． 【题型二】数量积的应用 【典题1】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长． 【解析】 方法一 如图过点作，过作，则易得，， 在中， 在中，. 方法二 如图， 的长为． 【点拨】 ① ； ② 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！ 【典题2】已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角． 【解析】 (1)如图所示， 正四面体的棱长为，分别是四面体中各棱的中点， 设， ，； ， 同理可得； ， 与的夹角为． 巩固练习 1(★★) 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 【答案】 【解析】 则 ． ． 2(★★) 如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值． 【答案】 【解析】根据题意，连接，，点是棱的中点，点在棱上，且， 记，，． ， 根据题意，点是棱的中点，则|，且， ， 则当时，取得最小值，则的最小值为． 3(★) 如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角． 【答案】 【解析】不妨设正方体的棱长为，设， 则， , ， 而，， 所以异面直线与所成的角为. 4(★★) 如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离． 【答案】 或 【解析】由题可知， ，，同理， 与成角，或， 又， 或. 即之间的距离为或. 5(★★) 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 【答案】 【解析】设，且各长度均为， 则， 因为，，且，， 所以， 所以. 与所成角的余弦值为. 6(★★) 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 【证明】两两互相垂直． ， 为锐角，即∠为锐角， 同理∠，∠均为锐角， 为锐角三角形． 7(★★★) 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，． (1)求侧棱的长； (2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角． 【答案】 (1)；(2) 【解析】(1)设侧棱， 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，且， ，，，， 又， ， ，， 即侧棱