1.1 空间向量及其运算-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量及其运算 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线(其中) (4) 与共线的单位向量为. 4 共面向量 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【题型一】空间向量的线性运算 【典题1】如图所示，在平行六面体中为与的交点， 若，，则　　) A． B． C． D． 【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把向靠拢) ； 故选：． 【点拨】 ① 空间向量运算符合三角形法则、平行四边形法则，类似平面向量； ② 本题解法很多，比较灵活，而本题解题思路是“首尾相接法”：以为基底，在对“首尾相接”的时候，尽量向三个基底靠拢(利用或其共线向量表示)，做到最后的式子只含三个基底向量； ③ 类似题目需要大胆下笔推算，也可利用一些常见结论： 在三角形中，点是的中点，则. 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【典题2】已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)；(2)；(3) 【解析】(1) ， (2)； (3)， 在三角形中，， 则， 即有，则有． 巩固练习 1(★) 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于 .(用，，表示) 【答案】 【解析】在四面体中，点在上，且，为中点， 所以． 2(★) 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________． 【答案】 【解析】如图，延长交于点，根据题意知为的中点． 又因为为正三角形的中心，所以，即， 所以． 3(★★) 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 . 【答案】 【解析】是的中点， ． 4(★★★) 在三棱锥中，为内一点，若，则 . (用，，表示) 【答案】 【解析】三棱锥中，为内一点，如图所示： 延长至，使得，延长至，使得，连接， 因为，所以， 所以为的重心，所以， 即， 所以， 所以． 【题型二】空间向量共线共面问题 【典题1】如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线． 【解析】设 ， ，， ，， ， 又由(1)知， ，且有公共点， 所以三点共线． 【典题2】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)；(2)． 【解析】(1)三点不共线，故三点共面， 又对于平面外的任意一点， 若， 则， ，故点与共面， (2)三点不共线，故三点共面， 又对于平面外任意一点， 若，则， 故点与不共面． 【典题3】 如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面． 【解析】 分别延长，交对边于点， 因为分别是所在三角形的重心，所以为所在边的中点， 顺次连接得到的四边形为平行四边形， 且有；如图所示， ； 又， ， 由共面向量定理知：四点共面． 巩固练习 1(★) 已知向量且，则一定共线的三点为(　　)． A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为， 所以与共线，即三点共线． 2(★) 在下列条件中，使与一定共面的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】在中，由，得，则为共面向量，即四点共面； 对于，由，得，不能