1.4.3 空间向量的应用--距离问题-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量的应用--距离问题 利用空间向量法求距离问题 (1)点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. (3)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. (4)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. 【题型一】点到点的距离 【典题1】正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面． 当点与点重合时，线段的长度为　 　； 线段长度的最小值为　　． 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，当点与重合时，，，， ，，， 平面． ，解得，， ， 线段的长度为． 设，则，，， ，，， 平面． ，解得，， ， ， 当，即是中点时，线段长度取最小值为． 【点拨】 ① 线段的长度为，利用空间向量法使得几何问题“代数化”，较几何法更容易处理这动点问题； ② 本题的变化源头是“的位置”，在第二问求长度的最小值，在引入参数中设，较为合理. 巩固练习 1(★) 已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】为轴上一点，设， 点到点与点的距离相等， ，解得， 点的坐标为． 2(★)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是 . 【答案】 【解析】点是平面内的直线上的动点，可设点 由空间两点之间的距离公式，得 令 当时，的最小值为 当时，的最小值为，即两点的最短距离是. 3(★) 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为 . 【答案】 【解析】在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体 ，，的中点， ，，中点， 的中点到的中点的距离为： ． 故选：． 4(★) 空间点，，，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】空间点，，，， 是以为球心，为半径的球上的点， ，． 的最小值为：． 【题型二】点到线的距离 【典题1】 为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为　　． 【解析】方法一 矩形中，，，， 过作，交于，连结， 平面，， 又 平面， ，即是点到的距离， ，， ，点到的距离为． 方法二 依题意可知，三线两两垂直， 如图建立空间直角坐标系 ， ， 点到的距离为. 【点拨】 ① 方法一是几何法，找到点到的距离;方法二是向量法，利用点到直线距离公式 (*)； ② 向量法中的公式(*)有些复杂，不建议直接使用，还不如使用其推导方法 求点到直线的距离 (1) 求出直线的方向向量； (2) 在直线上找一点，求出其与点的向量； (3) 求两向量夹角余弦值，； (4) 求点到的距离，. 巩固练习 1(★) 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 . 【答案】 【解析】根据题意，得，， ， ； 又， 点到直线l的距离为． 2(★) 已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】，故||， ， 设直线与直线所成的角为，则|， 故， 点到直线的距离为． 3(★★) 已知，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】，，， ，， 点到直线的距离为：． 【题型三】点到面的距离 【典题1】 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面，，，为中点，在棱上，，点到平面的距离为　 　． 【解析】底面为菱形，∠，为中点，， 又平面，，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， )，)， 在中，易得， 过点作交于， ， ， 设平面的法向量， 则，取，得(0)， 点到平面的距离为：． 【点拨】 ① 求点的坐标，解题中几何法较易求得，这需要审题中注意各量之间的关系；也可以用代数法求得，如下： 设，， 则)，解得，， ，)， ，，解得，； ② 求点到平面的距离的解题步骤 求平面的法向量(0)； 在平面内选一点，求其与点的向量)； 利用公式(向量在法向量上的投影绝对值)求所求距离，. 【典题2】 已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． 求证：平面．若，，求点到平面的距离． 【解析】连接交于， 是正方形边，的中点，，． 垂直于所在平面，平面 ， 平面． 方法一 向量法 建立空间直角坐标系，则，，， ， 设面的法向量， 则且，即且 取时，可