1.4.2 空间向量的应用---所成角-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量的应用---所成角 1求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，；当时，； 不管哪种情况，都有. 3求平面与平面的夹角 (1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： (2)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (3) 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 【题型一】求异面直线所成的角 【典题1】如图，是三角形所在平面外的一点，，且，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　． 【解析】， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，(题中没有确定线段，可设任意长度) 则，，，， 则，， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 【点拨】 向量法求异面直线与所成角的步骤 ① 建系求出涉及的四点坐标； ② 求得到； ③ 由公式|得到异面直线与所成角. 【典题2】 已知正四棱锥底面中心为，，分别为的中点，底面边长为，高为，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线与所成角的正切值． 【解析】以底面正方形中心为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， )，，)， ， 设向量和成角为，， ， ． 异面直线与所成角的正切值为． 【点拨】向量所成角是个钝角，而异面直线与所成角是锐角，它们之间是互补，所以. 巩固练习 1(★) 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点， 若，则与所成角的余弦值为　　． 直三棱柱，∠， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 点分别是、的中点，设， 则，，，， ，， 设与所成角为， 则， 与所成角的余弦值为． 【题型二】求线面角 【典题1】 如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于 . 三棱椎的底面是等腰直角三角形， ，且，， 可以把三棱椎补成棱长为的正方体，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，． ，，， 设面的法向量为， ⇒． ． 则与面所成角的正弦值等于． 【点拨】 ① 本题根据“墙角模型”巧妙的构造一个长方体进而建系； ② 向量法求直线与面所成角的步骤 求直线的方向向量和平面的法向量； 求； 求与面所成角的正弦值. 【典题2】 在梯形中，，∠，，为的中点，线段与交于点(如图)．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角(如图)． 求证：∥平面； 线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：因为在梯形中，，，为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面． (2)解：平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以，， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以，即． 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在菱形中，，所以． 所以， ，，， 所以，． 设为平面的法向量， 因为，所以， 取，得， 线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为， 设， 因为，， 所以． 因为， 所以，因为，所以． 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为． 【点拨】 ① 本题属于折叠问题，需要通过平几知识点确定各个量之间的关系，明确哪些量在折叠前后是否发生变化； ② 本题第二问已知直线与平面所成角正弦值为，由线面角公式 ，可知，先求出平面的法向量，再求，那关键点在于的位置； ③ 求向量的坐标，最直接的想法是设，这里有两种方法提供 (1) 几何法 由图可知，即. (2) 代数法 设，则， ，即. 但本题给到的解法，并没求点的坐标，而是先设再由“首尾相接法”得到，这样来得也很简单. 巩固练习 1 (★★) 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，， ，，平面的法向量， ，，解得， )， 与平面所成的角为， ， 当时，取最大值为．此时， 的最大值为：． 2(★★★) 四棱柱中，底面是正方形，，． (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值．