1.4.1 空间向量的应用---线面位置关系的证明-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量的应用---线面位置关系的证明 1 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【题型一】线面、面面位置关系的证明 【典题1】 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【解析】 ， 平面与平面垂直 故选：． 【典题2】 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)在三棱柱中，求证：平面； (2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【解析】， 从而有， 又， 平面． (2)直线与平面不平行． 理由如下： 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 直线与平面不平行． 【点拨】 ① 当题中出现多线段长度，注意可利用勾股定理逆定理证明线段垂直的方法； ② 第一问利用线面垂直判定定理便可证明，不需要利用向量法; ③ 第二问用高一线面平行判定定理很难做出来，此时想到向量法;思路如下， //平面. ④ 利用待定系数法求平面. 【典题3】 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【解析】证明：在直三棱柱中， 是的中点， 又为的中点 四边形是平行四边形， ， 平面平面， ∥平面． 在直线上找一点，使得∥平面，证明如下： 在直三棱柱中， 又两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设， 在线段上，设，则， 则， )，(， 设平面的法向量， 则，取，得， ∥平面， ，解得， 在直线上存在一点，且，使得∥平面． 【点拨】 ① 第一问利用线面平行判定定理易证明； ② 题中线段没有给到具体值，可作假设，便于建系后确定点坐标，同时减少计算量，直棱柱的高与长度没联系，所有只能设. 【典题4】 如图，四棱锥中．为矩形，，且．为上一点，且． (1)求证：平面； (2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 【解析】(1)方法一 证明：，且平面． 又 可建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知 , 又 平面； 方法二 ，且平面 如图： ， ． ； 平面； (2)假设存在满足且． 在空间直角坐标系中，， 在线段上 可设 的坐标 在线段上 可设 则． 要使且，则， 可得， 解得 ,． 故存在使且,其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点. 【点拨】 ① 对于高一非向量法与向量法的取舍，若第一问非向量法较容易解答，而第二问很难则第一问用非向量法，第二问用向量法；若第一问用非向量法较难，则建议从第一问就开始利用向量法，比如该题，不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间，其实不然，因为第二问大多数情况下都使用向量法的； ② 第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系，常见技巧是勾股定理逆定理、相似三角形、三角函数等； ③ 三点共线设元问题：“在线段上，可设中，常用向量共线的方法：，同时要注意变量的取值范围. 巩固练习 1(★) 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则　　． 【答案】 【解析】，，可得． 2(★) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为　 　． 【答案】 或 【解析】，， ，解得或． 3(★★) 如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明：平面