1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量及其运算的坐标表示 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【题型一】空间向量坐标运算 【典题1】 已知：，，，，，求： (1)；(2)与所成角的余弦值． 【解析】 (1)，，解得， 故， 又因为，所以，即，解得， 故； (2)由(1)可得， 设向量与所成的角为， 则． 【典题2】已知空间四点在同一平面内，则实数　　． 空间四点在同一平面内， ， 即， ，解得，，． 巩固练习 1(★) 空间点，，，若，则的最小值为 。 【答案】 【解析】空间点，，，， 是以为球心，为半径的球上的点， ，． 的最小值为：． 2(★)已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】向量的夹角为钝角， ，解得，且， 实数的取值范围为． 3(★) 若向量，且共面，则　 　． 【答案】 【解析】向量，且共面， 所以存在两个实数使得； 即，解得；所以． 4(★★) 已知，若四点共面，则实数为 . 【答案】 【解析】四点共面，存在实数，使得， ，解得. 【题型二】建立空间坐标系处理几何问题 【典题1】 的三个顶点分别是则边上的高长　 ． 【解析】 方法一 要求高，则只需求点坐标，可采取待定系数法. 设点， 则，，， 由垂足满足的条件 ； ， ． 方法二 等积法 (思考：因为三个点确定了，则可求出的面积，继而可求高) ，，， . 【点拨】 我们利用空间向量的知识也是可以求出几何中常见的量：线段长度(两点距离公式)、角度(数量积)、面积等. 【典题2】如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且则的长度为　 　． 【解析】点在平面上，点的横坐标为 过点作， 依题意易得，， 即点的竖坐标为纵坐标为， ． 【点拨】 ① 在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是： (1) 根据题意求出各线段长度，比如； (2) 确定空间点坐标的意义，比如点的竖坐标与点到平面的距离有关； (3) 把空间问题平面化； (4) 留意坐标的正负. ② 两点间的距离公式:若， 则. 【典题3】 如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是　 　． 【解析】(题中垂直关系较多，较容易建系描出各点坐标，进而数量积易于用某个变量表示，再用函数的方法求其范围) 平面平面， 作，则平面， 过在平面内作的垂线，如图建立空间直角坐标系， 为直角，，为的中点，且，(利用平几知识) ，， ，，，， 则，，，， 设， (点是动点，在坐标系中引入变量，，再由限制条件得到，的关系) 则，， ， ， ，(点的轨迹是抛物线) ， 又， ，(点是有固定轨迹的，即是有范围的，讨论函数性质也要优先讨论定义域) 当时，的最小值为， ． 故答案为． 【点拨】 ① 由平面平面可想到建立空间直角坐标系的方法，根据已知条件可求其他角、边的大小，从而得到各点的坐标； ② 而由点确定，能否求出其轨迹呢？而利用建坐标系的方法，较容易得到其轨迹(学圆锥曲线后也可知轨迹是抛物线)； ③ 从数量积坐标运算的角度得，从数量积的定义，从而得到点的轨迹； ④ 由坐标运算易求最小值化为的最小值，这里有函数思想，注意函数的定义域； ⑤ 本题若想用非坐标的方法解答： ， 而得不到点的轨迹，较难求出的范围！ 巩固练习 1(★) 如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为　 ． 【答案】 【解析】三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠， 交于点，侧面，且为等腰直角三角形， 如图建立空间直角坐标系， 过作平面，垂足是，连结，， 则，，， 点的坐标为． 故选：． 2 (★★) 已知点、，，则中角的大小是　 ． 【答案】 【解析】、，， | 又 可得 故答案为