2.1一元二次函数、方程和不等式-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

一元二次函数、方程和不等式 1不等式关系与不等式 ① 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：； ② 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. (2) 一元高次不等式的解法 ① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. Eg 解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. 【题型一】不等式性质的运用 【典题1】实数满足，则下列不等式正确的是 (　　) 【解析】， 错误，比如，得出； ，，该选项正确； 错误，比如时，； , 时，， ，该选项错误． 故选：． 【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些. 【典题2】已知，试比较与的值的大小． 【解析】，(作差法) 当时，，，则，即；(确定差) 当时，，则，即． 综上可得时，；时，． 【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与. 【典题3】已知，，，则正确的结论是(　　) 与的大小不确定 【解析】方法一 特殊值法 取特殊值，令，则，， 易知, 排除，还不能排除，猜测选. 方法二 做差法，分析法 要比较大小，只需要比较的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号) 而显然，故，故，故选. 方法三 共轭根式法 ， ， ， ， ，即，故选. 【点拨】 ① 比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法； ② 方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨； ③ 方法三中注意到. 若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点. . 巩固练习 1 (★) 已知，那么下列不等式成立的是(　　) 【解析】，，，，． ． ． 故选：． 2 (★★) 设，则下列不等式恒成立的是(　　) 【解析】设，可得，则错误； 由可得，，可得，故错误； 由可得1，则22，故正确； 由，可得，故错误． 故选：． 3(★★) 已知，且，，则的关系是(　　) 【解析】因为，，且，， 所以，， 则0， 当且仅当时取等成立， 所以即，所以， 故选：． 4(★★) 若，，则，的大小关系是(　) 由的取值确定 【解析】，，， ， ∴， ，且，， ． 故选． 5(★★★) 设，则下列判断中正确的是( ) ． 【解析】 即. 【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【解析】关于的不等式的解集为， 是方程的两实数根，且， 由韦达定理得， ， 不等式化为， 即，解得或； 则该不等式的解集为． 【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系. 【典题2】解关于的不等式： 【解析】； 等价变形为：且； (注意分母) 解得. 巩固练习 1(★) 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 (　　) 【答案】 【解析】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解可得 综上可得， 故选：． 2(★★) 若关于的不等式的解集为，则等于(　) 【答案】 【解析】由