【新课】专题01 直线斜率与倾斜角-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

直线斜率与倾斜角 知识梳理 一、直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0° 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度; (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可 二、直线的斜率 1.定义与表示 定义(α为直线的倾 斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示,即k=tan α 范围 R 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 2.填表:斜率与倾斜角的对应关系 90°;0; (0，＋∞); (－∞，0) 三、直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=. 点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直. 2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的. 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k=.即下标的顺序一致. 例题讲解 知识点一：直线倾斜角 1.下列图中表示直线倾斜角为(　　) 答案:C 2.（1）直线x=1的倾斜角α= . 答案:90° （2）直线的倾斜角为                             A. B. C. D. 【答案】 C 3.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135° 解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. 答案:D 知识点二：直线斜率 1.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于(　　) A.2 B.1 C.D.不存在 答案:A 2.(2020·贵州省遵义市·月考试卷)若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为________． 【答案】1 解：过点、的直线的斜率等于1， 所以 解得 故答案为1． 3.已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为  A. 或 B. 或 C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 本题考查直线的斜率公式，属于基础题． 根据题意，进行求解即可． 【解答】 解：由题意，设 或 ， 所以 或 ， 或 ， ， ， 点 的坐标为 或 ． 故选 B ． 知识点三：三点共线 1.若三点、、共线，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． 【解答】解：三点、、共线， ，， 解得． 故选：． 2.如果、、三点在同一条直线上，那么的值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、、三点在同一条直线上， 直线和直线的斜率相等， ，解得． 故选：． 知识点四：直线倾斜角与斜率的关系 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】A 解：直线过点，， 直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，可得， 故选：A． 2. 过两点，的直线的倾斜角为，则实数的值为    A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 本题考查了斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式、三角函数求值即可得出． 【解答】 解：由题意可得： ， 解得 ． 故选： ．   3.已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? 解:(1)kMN==1,解得m=. (2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1. 4.已知两点、，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是          ． 【答案】 解：设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为， 其斜率， 即， 化简得， 即， 解得或， 由，得是锐角， 则， ． 故答案为． 5.