第10讲 最短路径-【暑假新课预习】2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第10讲 最短路径 【基础知识】 知识点 最短路径问题 1、两点在直线异侧的最短距离 (l)问题:求直线异侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题(如图①). (2)方法: 如图②所示, . 2、两点在直线同侧的最短距离 (1)问题:求直线同侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题. (2)方法: (3)证明: 【注意】 根据轴对称的性质、三角形的三边关系,通过比较大小来说明最值问题是常用的一种方法. 【知识拓展】 最短距离应用模型 “轴对称＋两点之间线段最短”,将所求线段之和转化为两点之间的距离,是解决距离之和最小问题的基本思路. 【考点剖析】 考点一：最短路径 例1．如图,在直线l上找一点M,使它到A,B两点的距离和最小. 【方法总结】 借助转化巧解最短路径问题的步骤 （1）作对称点:作点关于直线的对称点; （2）转化:运用轴对称把直线同侧的两点转化为直线异侧的两点;3)连线:两点之间,线段最短. 考点二：“一线＋两点”型最短距离问题 例2．如图,小河EF边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂分别向A村和B村供水(两村管道不存在共用部分). （1）若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪儿建厂? （2）若要使厂部到A,B两村的水管最短,则应选择在哪儿建厂? 【方法总结】 “一线十两点”型最短距离求解方法 (1)如果两点在直线的异侧,那么直接连接两点交直线于一点,该点就是要求的点; (2)如果两点在直线的同侧,那么先作一点关于直线的对称点,再连接对称点和另一点交直线于一点,该点就是要求的点. 考点三：“两线+一点”型最短距离问题 例3．如图,A是锐角LMON内部任意一点,在LMON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组成△ABC,使△ABC周长最小(不写作法,保留作图痕迹). 【方法总结】 求“两线＋一点”型最短距离中的点 第1步:分别作这点关于两线的对称点; 第2步:连接两对称点交两线于两点,交点即为所求. 考点四：“两线＋两点”型最短距离问题 例4．如图,AO,BO表示草原上的两条河,点M,N表示两个居住点.为防止交叉污染,规定牛羊饮水在河的OA段,人的饮用水取自OB段.小蒙在点M放牧后先到河的OA段给羊饮水,再到OB河段取水,最后回居住点N.问小蒙怎样走路程最短?画出路线图. 【方法总结】 求“两线＋两点”型最短距离中的点 (1)分别作这两点关于两线的对称点; (2)连接两对称点交两线于两点,交点即为所求的最短距离中的点. 考点五：平移型问题 例5．如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短? 【方法总结】 平移型问题求解步骤 第1步:平移固定的距离(如桥长)和其中一点重合; 第⒉步:连接平移后的点和另一点,把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径来解决问题. 【即学即练】 1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）. A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）． A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A． B．4 C． D．5 4．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（       ） A． B． C． D． 6．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（       ） A．B．C． D． 7．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________. 8．下