第09讲 等腰三角形-【暑假新课预习】2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第09讲 等腰三角形 【学习目标】 1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质； 2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题. 3、探索等腰三角形的判定定理及其应用． 4、探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 【基础知识】 知识点01 等腰三角形的性质 1、等腰三角形的性质： 图形 数学语言 文字描述 在△ABC 中, 因为AB=AC, 所以 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”) ①AB=AC,AD⊥BC, 所以 , 且 等腰三角形的 相互重合(简写成“ ”) ②AB=AC,BD=DC, 所以 , 且 ③因为AB=AC, AD平分∠BAC， 所以 , 且 【注意】 (1)应用“ ”“ ”的前提是在 ,不能乱用; (2)“三线合一”中“三线”指的是 、 、 ,而腰上的高、中线及其对角的平分线 重合. 2、性质的应用途径 (1)“ ”是证明角相等常用的方法﹔ (2)“ ”可以证明两条线段相等,两个角相等,还可以证明两条线段之间的垂直关系. 【注意】 等腰三角形各角的范围 (1)等腰三角形的顶角可以是 ﹔ (2)等腰三角形的底角只能是 . 【性质拓展】 (1)等腰三角形两腰上的 、 分别相等; (2)等腰三角形两底角的 相等; (3)等腰三角形底边的 到两腰的距离相等; (4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 . 知识点02 等腰三角形的判定 1、等腰三角形的判定方法 图形 数学语言 条件：在△ABC中，∠B=∠C 结论： 判定方法: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“ ”) 【注意】 (1)应用等腰三角形的性质和判定的前提都是在同一个三角形中. (2)利用等腰三角形的性质和判定可以不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边,应用起来更简捷. 知识点03 等边三角形的性质 1、性质:等边三角形的三个 都相等,并且每一个角都等于 . 【注意】 (1)等边三角形是特殊的 ﹐具备 的所有性质. (2)等边三角形各边上的 、 、对应角的 重合,且 相等. 2、应用 利用等边三角形三边相等及三个内角都是60°可为三角形全等储备条件. 知识点04 等边三角形的判定 等边三角形的判定方法 （1）定义：： 的三角形是等边三角形 （2） 的三角形是等边三角形; （3） 的等腰三角形是等边三角形. 【注意】 判定方法(l)和(2)对任意三角形都适用,而判定方法(3)使用的前提是等腰三角形,所以要根据具体问题,选择合适的方法.其中:判定方法(3)中60°的角可以是顶角,也可以是底角. 知识点05 含30°角的直角三角形的性质 1、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 等于 的一半. 2、几何语言: 如图,在Rt△ABC中， ∵∠C=90°, ∠A=30° ∴BC= 【注意】 (1)该性质是含有 的特殊的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质. (2)这个性质主要应用于求 或证明 . (3)该性质的证明出自于等边三角形,所以它与等边三角形的联系密切. 【考点剖析】 考点一：等腰三角形的性质 例1．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE=∠BAD. 【方法总结】 等腰三角形的性质在证明中的“两个应用” (1)在证明角相等时,常考虑利用三角形全等和等腰三角形的两个底角相等来证明,注意挖掘和应用条件. (2)利用等腰三角形“三线合一”的性质,不仅能够证明线段或角相等,还可以证明线段之间的位置关系. 考点二：等腰三角形的判定 例2．如图,在△ABC中,AM平分∠CAB,过点M作MN// AB,求证:△AMN是等腰三角形. 【总结】 模型应用:“角平分线＋平行线→等腰三角形” 常见的“角平分线＋平行线→等腰三角形”模型有以下四种: 考点三：等边三角形的性质 例