1.5 平面上的距离-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

1.5 平面上的距离 【知识点梳理】 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【题型归纳目录】 题型一：中点公式 题型二：两点距离公式 题型三：由顶点判断三角形的形状 题型四：由两点距离公式求最值 题型五：点线距离公式 题型六：面积问题 题型七：由点线距离求参数 题型八：点关于直线对称 题型九：直线关于直线对称 题型十：平行线间距离公式 题型十一：直线关于点对称 题型十二：将军饮马问题 【典型例题】 题型一：中点公式 例1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】设直线l的斜率为，因为直线l过， 所以直线方程为， 由， 由，由题意可知：是截得的线段的中点， 所以，即， 故答案为： 例2．（2022·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知点，则线段AB的中点坐标为________． 【答案】 【解析】由题意知：中点坐标为，即． 故答案为：． 例3．（2022·广东·汕头市潮阳南侨中学高二阶段练习）在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为，斜边的中点为，求其它两边所在直线的方程． 【解析】 如图所示，设另一条直角边所在直线方程为，即： 因为到到和的距离相等 所以 解之得或 即直线的方程为或 由 所以 因为，所以 所以直线的方程为即： 由 所以 因为，所以 所以直线的方程为即： 综上，另两条边所在直线的方程为：与或与 例4．（2022·全国·高二课时练习）直线l经过已知点，且被两条已知直线截得的线段恰以P为中点，求直线l的方程． 【解析】当斜率不存在时，直线，代入直线得：；代入直线得：，所以中点不是点P，当斜率存在时， 设直线，联立 得： ； 联立得：，因为截得的线段恰以P为中点， 所以，解得：，所以直线，即： 例5．（2022·江苏·高二课时练习）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长． 【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边， 故． 【技巧总结】 两点、，且线段的中点坐标为，则， 题型二：两点距离公式 例6．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即． 故选：C． 例7．（2022·广西·高二学业考试）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（     ） A．8 B．6 C．3 D．0 【答案】C 【解析】因点，，则， 所以A，B两点之间的距离等于3． 故选：C 例8．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（       ） A．10 B．13 C．16 D．20 【答案】B 【解析】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点， 又因为直线过定点，直线，即过定点， 所以在中，， 故选：B． 例9．（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】设，则，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 例10．（2022·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）一条直线被两条平行直线和所截，截得的线段长为，且直线经过点，求直线的方程． 【解析】设所求直线为l．设直线l与直线3x+4