2.2 基本不等式-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

2．2　基本不等式 知识点一　基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 题型一、基本不等式比较大小 1．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（       ） A． B． C． D． 2．(多选)当a，时，下列不等关系不成立的是（       ） A． B． C． D． 3．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（       ） A． B． C． D． 题型二、基本不等式求和的最小值 1．（1）若，求的最小值，并求此时的值． （2）若实数，求的最小值，并求此时的值． （3）求函数的最小值． （4）已知，求的最小值. （5）已知，求函数的最大值． 2．已知，求的最小值． 题型三、基本不等式求积的最大值 1．（1）已知，且，求的最大值； （2）已知，，且，求的最大值． （3）已知，，且满足，求的最大值 2．（1）已知，求函数的值域； （2）已知，求的最大值． 3．已知正数满足，求下列式子的最大值． (1) (2) 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 1．（1）当时，求函数的最小值． （2）当时，求函数的最小值. （3）已知，求最小值. 2．若，求函数的最小值. 题型五、基本不等式“1”的妙用求最值 1．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足 ，求的最小值． 解：∵， ∴， 当且仅当，结合得，时等号成立， ∴的最小值为． 请类比以上方法，解决下面问题： (1)已知正实数x，y满足，求 的最小值； (2)已知正实数x，y满足 ，求的最小值． 2．（1）若正数满足，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值． （3）已知且，求的最小值． 3．已知，，且，求的最小值． 题型六、条件等式求最值 1．求解下列问题： (1)若，且，求的最小值； (2)若，且，求的最小值. 2．设x＞0，y＞0. (1)若x+2y＝4 ，求的最大值； (2)若x+2y＝5 ，求的最小值； (3)求的最小值. 3．已知正数a，b满足 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 4．已知正实数，满足，求的最小值. 题型七、基本不等式的恒成立问题 1．已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 2．已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 题型八、对勾函数求最值 1．(1)已知，求的最大值，并求此时x的值； (2)已知，求的最小值(提示：利用图像助解)． 2．已知，则的最值为（     ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 3．（1）求函数在上的最小值； （2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围； （3）若函数在上是减函数，求的取值范围. 4．求下列函数的最值： （1）已知函数，求此函数的最大值 （2）已知，求的最小值． 题型九、有关基本不等式的应用题 1．某地政府为增加农民收人，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完. (1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式； (2)求加工后的该农产品利润的最大值. 2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为． (1)若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 3．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用） (1)求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值． 题型十、证明不等式 1．证明： (1)； (2)． 2．已知.证明：； 3．已知正数，满足，证明： 1．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 2．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C．