1.1.2 空间向量的数量积运算（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 1 学习目标 素 养 目 标 学 科 素 养 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点） 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度.（重点、难点） 1.数学抽象; 2.数学运算； 3.逻辑推理。 自主学习 类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？ 自主学习 一．空间向量的夹角 〈a，b〉 [0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 夹角 自主学习 二．空间向量数量积 自主学习 自主学习 小试牛刀 √ √ × × × √ 小试牛刀 题型一 数量积的计算 经典例题 10 经典例题 总结 题型一 数量积的计算 跟踪训练1 经典例题 题型一 数量积的计算 经典例题   题型二　用数量积证明垂直问题 13 经典例题 总结 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．   题型二　用数量积证明垂直问题 跟踪训练2 经典例题   题型二　用数量积证明垂直问题 经典例题  题型三　 用数量积求角度 16 经典例题 利用向量求异面直线夹角的步骤 总结  题型三　 用数量积求角度 17 跟踪训练3 经典例题  题型三　 用数量积求角度 经典例题  题型三　 用数量积求角度 经典例题    题型四 用数量积求长度 20 经典例题 总结    题型四 用数量积求长度 21 跟踪训练4 经典例题    题型四 用数量积求长度 当堂达标 当堂达标 当堂达标 25 当堂达标 当堂达标 当堂达标 对应课后练习 课后作业 已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， 则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b| 叫做a与b的数量积(或内积)。 1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ． 2.a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是 。 当〈a，b〉＝0时，a与b ； 当〈a，b〉＝π时，a与b ； 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a与b ． 1.概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。 |a||b| 3.性质及应用 性质 应用 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔ 　 用于证明线线垂直 a·a＝|a||a| ＝|a|2，即|a|＝ ， 推广：|a±b|= . 用于求长度 ＝ 用于求异面直线所成角 a·b＝0 eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) 解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）． 4.运算律 (1)(λa)·b＝ ； (2)a·b＝ (交换律)； (3)a·(b＋c)＝ (分配律). λ(a·b)) b·a a·b＋a·c 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( ) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( ) (3)对于非零向量a，b， 与 相等．(　　) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120°