1.1.2 空间向量的数量积运算（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 【学习目标】 课程目标 学科素养 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点） 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点） 1、逻辑推理 2、数学运算 3、数学抽象 【自主学习】 一．空间向量的夹角 1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ． 2.a，b为非零向量，＝，a与b的夹角的范围是 。 当＝0时，a与b ； 当＝π时，a与b ； 当＝时，a与b ． 二．空间向量数量积 1.概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b， 即a·b＝|a||b|． 解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. 2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c = ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。 3.性质及应用 性质 应用 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0　 用于证明线线垂直 a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝， 推广：|a±b|=. 用于求长度 ＝ 用于求异面直线所成角 4.运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(分配律). 解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）． 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( ) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( ) (3)对于非零向量a，b，与相等．(　　) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【经典例题】 题型一　数量积的计算 点拨：空间向量的数量积运算方法 1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|求解． 例1　(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 (2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 　 题型二　用数量积证明垂直问题 点拨：用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题． 例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC. 【跟踪训练】 2 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系 为_______．(填“平行”或“垂直”) 题型三 用数量积求角度 点拨：利用向量求异面直线夹角的步骤 例3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______． 【跟踪训练】 3 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求异面直线OE与BF所成角的余弦值． 题型四 用数量积求长度 点拨：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模