1.3 两条直线的平行与垂直-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

1.3两条直线的平行与垂直 【知识点梳理】 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1．代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2．几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1．两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2．两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 【题型归纳目录】 题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行 题型二：两条直线相交、平行、重合的判定 题型三：两条直线垂直的判定 题型四：直线平行与垂直的综合应用 题型五：两直线的夹角 题型六：已知直线平行求参数 题型七：已知直线垂直求参数 【典型例题】 题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行 例1．（2022·全国·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（       ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件. 故选：B 例2．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】(1)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． (2)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． (3)解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同， 所以． 例3．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】(1)由题意得，两直线斜率，所以两直线平行， 又两直线在y轴上截距分别为1和3，所以两直线不重合， 所以直线平行. (2)直线变形可得，直线变形可得， 所以两直线斜率，所以两直线平行， 又两直线在y轴上截距分别为和，所以两直线不重合， 所以直线平行. (3)直线变形可得，直线变形可得， 两直线斜率，所以两直线不平行. (4)直线变形可得，为横线，斜率， 直线变形可得，为横线，斜率，所以两直线平行， 因为，所以不重合，所以直线平行. 例4．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【解析】(1)，，，不共线，因此与平行． (2)，，又两直线不重合，直线与平行， (3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行； (4),，直线与不平行， 【技巧总结】 判断两条不重合直线是否平行的步骤 题型二：两条直线相交、平行、重合的判定 例5．（2022·全国·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（       ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【答案】B 【解析】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B 例6．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（       ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】C 【解析】设方程的两根为、，则． 直线、的斜率，故与相交但不垂直． 故选：C． 例7．（2022·全国·高二课时练习）下列各组直线中，两直线相交的为（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】对于A中，直线和，显然两直线相交，所以A正确； 对于B中，直线和，可得两直线的斜率都为，所以两直线平行， 所以B错误； 对于C中，直线和， 当时，两直线重合；当时，两直线相交，所以C错误； 对于D中，直线和，可得两直线的斜率都是， 所以两直线平行，所以D错误. 故选：A. 例8．（2022·全国·高二专题练习）已知直线：和：，