1.4 两条直线的交点-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

1.4 两条直线的交点 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【题型归纳目录】 题型一：求直线的交点 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 题型三：由直线交点的个数求参数 题型四：由直线交点坐标求参数 题型五：三线能否围成三角形问题 题型六：直线交点系方程 【典型例题】 题型一：求直线的交点 例1．（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解得，故两直线交点为(－1，2)， 故直线方程是：，即． 故选：A． 例2．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1， 故方程为，化为一般方程为. 故答案为：. 例3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______． 【答案】 【解析】解：由，解得，即直线和的交点坐标为， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以直线方程为； 故答案为： 例4．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程． 【解析】由，即交点坐标为， 设所求直线为，把代入所设方程中，得 ，故而所求直线方程为． 例5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】设直线l的斜率为，因为直线l过， 所以直线方程为， 由， 由，由题意可知：是截得的线段的中点， 所以，即， 故答案为： 例6．（2022·湖南·高二期中）已经直线：，：，且. (1)求的值； (2)若直线与的交点在直线上，求直线的方程. 【解析】(1)直线的斜率为2，直线的斜率为， 若，则， 得； (2)联立方程，解得 由直线的方程为 代入点，有，得. 故直线的方程为. 【技巧总结】 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 例7．（多选题）（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（       ） A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0 【答案】BD 【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行； 对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交； 对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合； 对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交. 故选：BD. 例8．（2022·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【解析】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). （2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2. 例9．（2022·全国·高二专题练习）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 【答案】-35 【解析】 由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解. 【详解】 因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 题型三：由直线交点的个数求参数 例10．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 例11．（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数