1.1.2空间向量的数量积运算 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 课程标准 课标解读 1．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 知识点1 空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 拓展提升： （1）当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？ 只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. （2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？ 对空间任意两个非零向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【即学即练1】在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 【解析】〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选D 知识点2 空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律． 【即学即练2】在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】．故选B． 【即学即练3】如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【解析】（1）在正方体中，， 故 （2）由（1）知， （3）由（1）及知， 【即学即练4】如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 【解析】由题意得，故. 故选：D. 知识点3 空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 【即学即练5】已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 【解析】设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c， 得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝.故选B 【即学即练6】已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（ ） A．60° B．120° C．30° D．90° 【解析】由题意得=(+)·(2)==， ||=， ||=. =. °. 故选:B. 【即学即练7】在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值． 【解析】， ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16， ∴ 故答案为： 考点一 空间向量数量积的概念辨析 解题方略： 注意空间向量的夹角的定义及熟练掌握数量积的运算律 【例1-1】对于空间