专题1.2 三角形的周长与面积（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题1.2 三角形的周长与面积 【典例1】课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己作的图形“△ABC边BC边上的中线AD…”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边BC，还平分△ABC的面积． （一）探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作BC边上的高AE，则：… 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． （二）运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题： （1）如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，△ABC的面积为40，BD＝5，求△ABE的面积和点E到BC的距离． （2）如图3，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【思路点拨】 （一）如图1中，过点A作AE⊥BC于E．利用三角形面积公式证明即可． （二）（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用（一）中结论解决问题即可． （2）利用三角形中线的性质画出图形即可（答案不唯一）． 【解题过程】 解：（一）探究与发现：如图1中，过点A作AE⊥BC于E． ∵AD是△ABC边BC边上的中线 ∴DBBC， ∴S△ABD•BD•AE••BC•AE•S△ABC． （二）运用与实践： （1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABDS△ABC； 同理，S△BDE＝S△ABES△ABD， ∴S△BDE＝S△ABES△ABC40＝10． ∵S△BDEBD•EF，所以BD•EFS△ABC． 又△ABC的面积为40，BD＝5， ∴EF＝4， 即E到BC的距离是4． （2）如图所示（取各边中点或中线的中点）． 1．（2020秋•蠡县期中）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 【思路点拨】 根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长． 【解题过程】 解：如图， ∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD， 设AD＝CD＝x，则AB＝2x， 当x+2x＝12，解得x＝4， BC+x＝15，解得BC＝11， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11； 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7． 2．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，． （1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长． （2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？ 【思路点拨】 （1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 【解题过程】 解：（1）∵，AC＝10cm， ∴AB＝15cm． 又∵△ABC的周长是33cm， ∴BC＝8cm． ∵AD是BC边上的中线， ∴． （2）不能，理由如下： ∵，AC＝12cm， ∴AB＝18cm． 又∵△ABC的周长是33cm， ∴BC＝3cm． ∵AC+BC＝15＜AB＝18， ∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长． 3．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长． （2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BCDE的值． 【思路点拨】 （1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可； （2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案． 【解题过程】 解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等， ∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE， ∵BD＝DC， ∴BE＝AE+AC， 设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm， 由题意得，10﹣x＝x+6． 解得，x＝2， ∴AE＝2cm； （2）图中共有8条线段， 它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE， 由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53， ∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27， ∴BCDE（cm）． 4．（2021春•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个动点（点E与B，C不重合），连AE， （1）若AE平分△ABC的周长