1.2 集合间的基本关系-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

1.2 集合间的基本关系 一、子集与真子集的定义与表示 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅， 并规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、韦恩图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【注意】 （1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 （2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 题型一 判断集合间的包含关系 【例1】已知集合，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D．∅ 【答案】C 【解析】因为集合， 所以根据子集的定义可知，故选：C. 【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( ) A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 【答案】C 【解析】∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B，∴A⊆B. 【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( ) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P 【答案】B 【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B. 【变式1-3】下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④； ⑤a {b，c，a}；正确的有（ ） A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤ 【答案】A 【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误； 空集是任一集合的子集，所以正确； 是的子集，所以错误； 任何集合是其本身的子集，所以正确； a是的元素，所以正确.故选：A. 【变式1-4】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，即， 而， 所以为的子集，则.故选：A 题型二 确定集合的子集和真子集 【例2】集合的非空真子集的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B. 【变式2-1】已知集合，则A的子集共有（ ） A．3个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】C 【解析】由，得集合 所以集合A的子集有个，故选： C 【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由题意可知，集合为的子集， 则满足条件的集合的个数为.故